《2025年绩优学案七年级数学上册北师大版》

8. 如图4-2-2-8,∠AOB = 90°,∠AOC = 50°,ON是∠AOC的平分线,OM是∠BOC的平分线。
(1)求∠MON的大小；
(2)当锐角∠AOC的大小发生改变时,∠MON的大小会发生改变吗？为什么？

答案：
(1)
已知$\angle AOB = 90^{\circ}$，$\angle AOC = 50^{\circ}$，则$\angle BOC=\angle AOB+\angle AOC = 90^{\circ}+50^{\circ}=140^{\circ}$。
因为$ON$是$\angle AOC$的平分线，所以$\angle CON=\frac{1}{2}\angle AOC = 25^{\circ}$。
因为$OM$是$\angle BOC$的平分线，所以$\angle COM=\frac{1}{2}\angle BOC = 70^{\circ}$。
则$\angle MON=\angle COM - \angle CON=70^{\circ}- 25^{\circ}=45^{\circ}$。
(2)
不会。
设$\angle AOC=\alpha$，因为$\angle AOB = 90^{\circ}$，所以$\angle BOC = 90^{\circ}+\alpha$。
因为$ON$是$\angle AOC$的平分线，所以$\angle CON=\frac{1}{2}\alpha$。
因为$OM$是$\angle BOC$的平分线，所以$\angle COM=\frac{1}{2}(90^{\circ}+\alpha)=45^{\circ}+\frac{1}{2}\alpha$。
则$\angle MON=\angle COM - \angle CON=(45^{\circ}+\frac{1}{2}\alpha)-\frac{1}{2}\alpha = 45^{\circ}$。
综上，
(1) $\angle MON$的大小为$45^{\circ}$；
(2) $\angle MON$的大小不会发生改变，始终为$45^{\circ}$。

9. 如图4-2-2-9,O为直线AB上一点,OC为射线,OD,OE分别为∠AOC,∠BOC的平分线。
(1)判断射线OD,OE的位置关系,并说明理由；
(2)若∠AOD = 30°,说明：OC为∠AOE的平分线；
(3)若∠AOD:∠AOE = 2:11,求∠BOE的度数。

答案：
(1) OD⊥OE。理由：
∵OD平分∠AOC，
∴∠DOC=∠AOC/2；
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOC/2。
∵∠AOC+∠BOC=∠AOB=180°，
∴∠DOE=∠DOC+∠COE=(∠AOC+∠BOC)/2=180°/2=90°，
∴OD⊥OE。
(2)
∵∠AOD=30°，OD平分∠AOC，
∴∠AOC=2∠AOD=60°。
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=120°。
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOC/2=60°。
∴∠AOC=∠COE=60°，
∴OC平分∠AOE。
(3) 设∠AOD=2x，则∠AOE=11x。
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOC=2∠AOD=4x。∠BOC=180°-∠AOC=180°-4x。
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOE=(180°-4x)/2=90°-2x。∠AOE=∠AOC+∠COE=4x+(90°-2x)=2x+90°。
∵∠AOE=11x，
∴2x+90°=11x，解得x=10°。
∴∠BOE=90°-2x=70°。

10. 点O为直线AB上一点,在直线AB同侧作射线OC,OD,使得∠COD = 90°。
(1)如图4-2-2-10①,过点O作射线OE,当OE恰好为∠AOC的平分线时,另作射线OF,使得OF平分∠BOD,则∠EOF的度数是135°；
(2)如图4-2-2-10②,过点O作射线OE,当OE恰好为∠AOD的平分线时,求出∠BOD与∠COE的数量关系。
∠BOD=2∠COE

答案：
(1)135°；
(2)∠BOD=2∠COE