《2025年绩优学案七年级数学上册北师大版》

6. 已知 $ A $,$ B $ 是线段 $ EF $ 上两点,且 $ EA:AB:BF = 1:2:3 $,$ M $,$ N $ 分别为 $ EA $,$ BF $ 的中点,且 $ MN = 8 cm $,求 $ EF $ 的长。

答案： 设 $EA = x \, cm$，则 $AB = 2x \, cm$，$BF = 3x \, cm$。
根据中点的定义，$ME = \frac{1}{2} × EA = \frac{1}{2}x \, cm$。
同样，$BN = \frac{1}{2} × BF = \frac{3}{2}x \, cm$。
根据线段的和，$MN = ME + AB + BN$。
代入已知条件 $MN = 8 \, cm$，得到方程：
$\frac{1}{2}x + 2x + \frac{3}{2}x = 8$，
合并同类项，得到：
$4x +[或者写作 0.5x + 2x + 1.5x = 8，然后简化为 4x = 8] 4x = 8$，
解得：
$x = 2$，
根据 $x$ 的值，求出 $EF$ 的长度：
$EF = EA + AB + BF = x + 2x + 3x = 6x = 6 × 2 = 12 \, cm$。
故 $EF$ 的长度为 $12 \, cm$。

7. 如图,$ C $,$ D $ 将线段 $ AB $ 分成 $ 2:3:4 $ 三部分,$ E $,$ F $,$ G $ 分别是 $ AC $,$ CD $,$ DB $ 的中点,且 $ EG = 12 cm $,求 $ AF $ 的长。

答案： 设 $AC = 2x$，$CD = 3x$，$DB = 4x$，
所以 $AB = AC + CD + DB = 2x + 3x + 4x = 9x$，
因为 $E$，$F$，$G$ 分别是 $AC$，$CD$，$DB$ 的中点，
所以 $EC = \frac{1}{2}AC = x$，
$DG = \frac{1}{2}DB = 2x$，
$EG = EC + CD + DG = x + 3x + 2x = 6x$，
已知 $EG = 12$，
所以 $6x = 12$，
解得 $x = 2$，
所以 $AC = 2×2 = 4$，
$CD = 3×2 = 6$，
因为 $F$ 是 $CD$ 的中点，
所以 $CF = \frac{1}{2}CD = 3$，
所以 $AF = AC + CF = 4 + 3 = 7$，
综上，$AF$ 的长为 $7$。

8. 已知 $ O $ 为直线 $ AB $ 上一点,$ \angle DOE = 90° $。
(1)如图①,若 $ \angle AOC = 130° $,$ OD $ 平分 $ \angle AOC $。
①求 $ \angle BOD $ 的度数；
②请通过计算说明 $ OE $ 是否平分 $ \angle BOC $。
(2)如图②,若 $ \angle BOE:\angle AOE = 2:7 $,求 $ \angle AOD $ 的度数。

答案：
(1)①
∵OD平分∠AOC，∠AOC=130°，
∴∠AOD=130°/2=65°。
∵O在直线AB上，
∴∠AOB=180°，
∴∠BOD=180°-65°=115°。
②∠DOC=∠AOD=65°，
∵∠DOE=90°，
∴∠COE=90°-65°=25°。∠COB=180°-130°=50°，∠EOB=50°-25°=25°，
∴∠COE=∠EOB，OE平分∠BOC。
(2)设∠BOE=2x，∠AOE=7x，2x+7x=180°，x=20°，∠AOE=140°。
∵∠DOE=90°，
∴∠AOD=140°-90°=50°。

9. 如图,$ OM $ 是 $ \angle AOC $ 的平分线,$ ON $ 是 $ \angle BOC $ 的平分线。
(1)如图①,当 $ \angle AOB = 90° $,$ \angle BOC = 60° $ 时,$ \angle MON $ 的度数是多少？
(2)如图②,当 $ \angle AOB = 70° $,$ \angle BOC = 60° $ 时,$ \angle MON = $ 35°；
(3)如图③,当 $ \angle AOB = \alpha $,$ \angle BOC = \beta $ 时,猜想：$ \angle MON $ 的度数是多少？为什么？

(1)45°
(3)$\angle MON=\frac{1}{2}\alpha$。
因为$\angle AOC=\angle AOB + \angle BOC=\alpha+\beta$。
因为$OM$是$\angle AOC$的平分线，
所以$\angle MOC=\frac{1}{2}\angle AOC=\frac{1}{2}(\alpha + \beta)$。
因为$ON$是$\angle BOC$的平分线，
所以$\angle NOC=\frac{1}{2}\angle BOC=\frac{1}{2}\beta$。
所以$\angle MON=\angle MOC - \angle NOC=\frac{1}{2}(\alpha + \beta)-\frac{1}{2}\beta=\frac{1}{2}\alpha$。

答案：
(1)
因为$\angle AOB = 90^{\circ}$，$\angle BOC = 60^{\circ}$，
所以$\angle AOC=\angle AOB + \angle BOC = 90^{\circ}+ 60^{\circ}=150^{\circ}$。
因为$OM$是$\angle AOC$的平分线，
所以$\angle MOC=\frac{1}{2}\angle AOC = 75^{\circ}$。
因为$ON$是$\angle BOC$的平分线，
所以$\angle NOC=\frac{1}{2}\angle BOC = 30^{\circ}$。
所以$\angle MON=\angle MOC - \angle NOC = 75^{\circ}- 30^{\circ}=45^{\circ}$。
(2)
因为$\angle AOB = 70^{\circ}$，$\angle BOC = 60^{\circ}$，
所以$\angle AOC=\angle AOB + \angle BOC = 70^{\circ}+ 60^{\circ}=130^{\circ}$。
因为$OM$是$\angle AOC$的平分线，
所以$\angle MOC=\frac{1}{2}\angle AOC = 65^{\circ}$。
因为$ON$是$\angle BOC$的平分线，
所以$\angle NOC=\frac{1}{2}\angle BOC = 30^{\circ}$。
所以$\angle MON=\angle MOC - \angle NOC = 65^{\circ}- 30^{\circ}=35^{\circ}$。
(3)
$\angle MON=\frac{1}{2}\alpha$。
因为$\angle AOC=\angle AOB + \angle BOC=\alpha+\beta$。
因为$OM$是$\angle AOC$的平分线，
所以$\angle MOC=\frac{1}{2}\angle AOC=\frac{1}{2}(\alpha + \beta)$。
因为$ON$是$\angle BOC$的平分线，
所以$\angle NOC=\frac{1}{2}\angle BOC=\frac{1}{2}\beta$。
所以$\angle MON=\angle MOC - \angle NOC=\frac{1}{2}(\alpha + \beta)-\frac{1}{2}\beta=\frac{1}{2}\alpha$。
综上，答案依次为：
(1)$45^{\circ}$；
(2)$35^{\circ}$；
(3)$\frac{1}{2}\alpha$。