《2025年绩优学案七年级数学上册北师大版》

7. 我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织,日自倍,五日织五尺。问日织几何。”其意思为：今有一女子很会织布,每日加倍增长,5日共织布5尺,问每日各织多少布。根据此问题中的已知条件,可求得该女子第一天织布$\frac{5}{31}$尺。(注：“尺”是我国一种传统的长度单位)

答案： $\frac{5}{31}$

8. 如图5-3-1-3,一块长4cm、宽1cm的长方形纸板①,一块长5cm、宽2cm的长方形纸板②与一块正方形纸板③以及另两块长方形纸板④和⑤,恰好拼成一个大正方形,则正方形纸板③的边长是3cm。

答案： 3

9. 如图5-3-1-4,一个酒瓶的容积为500mL,瓶子内还剩有一些黄酒。当瓶子正放时,瓶内黄酒的高度为12cm；当瓶子倒放时,空余部分的高度为8cm,求瓶子的底面积。

答案： 设瓶子的底面积为 $S$ $cm^2$。
正放时，黄酒的体积为：
$V_1 = 12S$，
倒放时，空余部分的体积为：
$V_2 = 8S$，
由于酒瓶的容积为 $500 mL$（即 $500 cm^3$），因此有：
$V_1 + V_2 = 500$，
即：
$12S + 8S = 500$，
合并同类项，得：
$20S = 500$，
解得：
$S = 25$，
答：瓶子的底面积为 $25 cm^2$。

10. 一个底面半径为40cm的圆柱形水桶内盛有一些水,水深80cm,将一个底面直径为40cm的圆锥铁块体铁块沉没水中,水面上升了1.5cm,则圆锥铁块高多少厘米？$ \left( 圆柱的体积 = 底面积 × 高, 圆锥的体积 = \dfrac{1}{3} × 底面积 × 高 \right) $

答案： 解：圆柱底面半径$r_1=40\,cm$，水面上升高度$h_1=1.5\,cm$，
水面上升体积$V = \pi r_1^2 h_1 = \pi × 40^2 × 1.5 = 2400\pi\,cm^3$。
圆锥底面直径$d=40\,cm$，半径$r_2=20\,cm$，设圆锥高为$h$，
圆锥体积$V = \frac{1}{3} \pi r_2^2 h = \frac{1}{3} \pi × 20^2 × h = \frac{400\pi h}{3}$。
由体积相等得：$2400\pi = \frac{400\pi h}{3}$，
解得$h = 18\,cm$。
答：圆锥铁块高18厘米。