《2025年绩优学案七年级数学上册北师大版》

3. 若$5m - 5n = 1$,则$m - n = \frac{1}{5}$,这是依据等式的基本性质2。

答案： 等式的基本性质2

4. 如图5-2-1-1是三架平衡的天平,则第三架天平中的“?”处应放5个△。

答案： 5

5. 下列方程的变形是否正确？为什么？
(1)由$3 + x = 5$,得$x = 5 + 3$；
(2)由$7x = -4$,得$x = -\frac{7}{4}$；
(3)由$\frac{1}{2}y = 0$,得$y = 2$；
(4)由$3 = x - 2$,得$x = -2 - 3$。

答案：
(1)不正确，等式两边应同时减3，得$x=5-3$。
(2)不正确，等式两边应同时除以7，得$x=-\frac{4}{7}$。
(3)不正确，等式两边应同时乘2，得$y=0$。
(4)不正确，等式两边应同时加2，得$x=3+2$。

6. 用等式的基本性质解方程：
(1)$-\frac{1}{2}x = 4$；(2)$2x = 5x - 6$。

答案：
(1)
方程 $-\frac{1}{2}x = 4$ 两边同时乘以 $-2$（依据等式基本性质2：等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立），
得 $x = -8$。
(2)
方程 $2x = 5x - 6$ 两边同时减去 $5x$（依据等式基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立），
得 $2x - 5x = -6$，
即 $-3x = -6$，
然后方程两边同时除以 $-3$（依据等式基本性质2：等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立），
得 $x = 2$。

7. 不论$x$取何值,等式$ax - b - 4x = 3$永远成立,则$\frac{1}{2}ab = $-6。

答案： -6

8. 已知$\frac{3}{4}m - 1 = \frac{3}{4}n$,试用等式的基本性质比较$m与n$的大小。

答案： 由题意得：
根据等式的基本性质$1$，等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立，
将等式$\frac{3}{4}m - 1 = \frac{3}{4}n$两边同时加$1$，
得到：$\frac{3}{4}m - 1+1 = \frac{3}{4}n+1$，
即：$\frac{3}{4}m = \frac{3}{4}n + 1$。
根据等式的基本性质$2$，等式两边同时乘（或除）相等的非零的数或式子，两边依然相等，
将等式$\frac{3}{4}m = \frac{3}{4}n + 1$，两边同时乘以$\frac{4}{3}$，
得到：$m = n + \frac{4}{3}$。
根据不等式的基本性质，
移项可得：$m - n = \frac{4}{3} ＞ 0$。
所以$m ＞ n$。
综上，答案为：$m ＞ n$。

9. 实验室中有黑白两种颜色的小球若干个,其中同色小球的质量均相等,天平的砝码相同,在如图5-2-1-2中的两次称量中天平恰好平衡,如果第三次天平的左盘中有4个黑球和3个白球,那么天平的右盘需要放多少个这样的砝码才能平衡？

答案： 设一个黑球质量为$x$，一个白球质量为$y$，一个砝码质量为$a$。
第一步：根据两次称量列方程
第一次称量：$x + 2y = 2a$（1黑+2白=2砝码）
第二次称量：$3x + y = 2a$（3黑+1白=2砝码）
第二步：解方程组求$x$、$y$与$a$的关系
由第二次称量方程得：$y = 2a - 3x$，代入第一次方程：
$x + 2(2a - 3x) = 2a$
$x + 4a - 6x = 2a$
$-5x = -2a$
解得：$x = \frac{2a}{5}$
将$x = \frac{2a}{5}$代入$y = 2a - 3x$：
$y = 2a - 3×\frac{2a}{5} = \frac{4a}{5}$
第三步：计算4黑+3白的总质量
$4x + 3y = 4×\frac{2a}{5} + 3×\frac{4a}{5} = \frac{8a}{5} + \frac{12a}{5} = 4a$
结论
右盘需放4个砝码。
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10. (新定义)对于任意有理数$a,b,c,d$,我们规定$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$,如$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 1×4 - 2×3$。若$\begin{vmatrix} x & -2 \\ 3 & -4 \end{vmatrix} = -2$,试用等式的基本性质求$x$的值。
$x=2$

答案： $x=2$