《2025年绩优学案七年级数学上册北师大版》

9. 已知 $ 3^{1} = 3 $,$ 3^{2} = 9 $,$ 3^{3} = 27 $,$ 3^{4} = 81 $,$ 3^{5} = 243 $,$ 3^{6} = 729 $,$ 3^{7} = 2187 $,$ 3^{8} = 6561 $,…$$,试确定 $ 3^{2021} $ 的末位数字是几。

答案： 观察已知算式：$3^1=3$，末位数字是3；$3^2=9$，末位数字是9；$3^3=27$，末位数字是7；$3^4=81$，末位数字是1；$3^5=243$，末位数字是3；$3^6=729$，末位数字是9；……，可得末位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，周期为4。
因为$2021÷4=505\cdots\cdots1$，其中余数为1。
所以$3^{2021}$的末位数字与$3^1$的末位数字相同，是3。
结论：3

10. 你吃过手工拉面吗？在制作我国北方这种传统面食时,厨师将面团拉成一定长度的长条,对折后再拉成长条,如此连续拉伸七八次便制成了细细的面条。假设一共拉伸 $ 8 $ 次,请你算出此时共有多少根面条。

答案： 答：
每次拉伸将每根面条对折一次，根数变为原来的2倍。
初始时，面条根数为$1$。
拉伸$1$次后，面条根数为$2^1 = 2$。
拉伸$2$次后，面条根数为$2^2 = 4$。
...
拉伸$8$次后，面条根数为$2^8 = 256$。
最终结论：
共有$256$根面条。

11. (阅读理解) 阅读材料,计算：$ 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + … + 2^{2021} $。
解：设 $ S = 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + … + 2^{2021} $,
等式两边同时乘 $ 2 $,得
$ 2S = 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + … + 2^{2021} + 2^{2022} $,
用下式减去上式,得 $ 2S - S = 2^{2022} - 1 $,
即 $ S = 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + … + 2^{2021} = 2^{2022} - 1 $。
请你仿照此法计算：
(1) $ 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + … + 2^{10} $；
(2) $ 1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + … + 3^{n} $(其中 $ n $ 为正整数)。

答案：
(1)设$ S = 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \ldots + 2^{10} $，
等式两边同时乘$ 2 $，得$ 2S = 2 + 2^{2} + 2^{3} + \ldots + 2^{10} + 2^{11} $，
下式减上式，得$ 2S - S = 2^{11} - 1 $，
即$ S = 2^{11} - 1 = 2048 - 1 = 2047 $。
(2)设$ S = 1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + \ldots + 3^{n} $，
等式两边同时乘$ 3 $，得$ 3S = 3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + \ldots + 3^{n} + 3^{n+1} $，
下式减上式，得$ 3S - S = 3^{n+1} - 1 $，
即$ 2S = 3^{n+1} - 1 $，
$ S = \frac{3^{n+1} - 1}{2} $。