《2025年绩优学案七年级数学上册北师大版》

6. 如图4-1-2-8,已知线段a,b,求作线段AB = a + b。(保留作图痕迹)

答案： 1. 作射线AM；
2. 在射线AM上截取AC = a；
3. 在射线CM上截取CB = b；
4. 线段AB即为所求作的线段。

7. 如图4-1-2-9是某住宅小区平面图,点B是某小区“菜鸟驿站”的位置,其余各点为居民楼,图中各条线为小区内的小路,从居民楼点A到“菜鸟驿站”点B的最短路径是(D)

A.$A \to C \to G \to E \to B$
B.$A \to C \to E \to B$
C.$A \to D \to G \to E \to B$
D.$A \to F \to E \to B$

答案： D

8. 如图4-1-2-10,观察数轴,请回答：

(1) 点C与点D之间的距离为3,点B与点D之间的距离为2；
(2) 点B与点E之间的距离为4,点A与点C之间的距离为7；发现：在数轴上,如果点M与点N分别表示数m,n,则它们之间的距离可表示为MN = |m - n|；(用含m,n的式子表示)
(3) 利用发现的结论解决问题：
数轴上表示x的点P与点B之间的距离是1,则x的值是-1 或 -3。

答案：
(1) 点 $C$ 与点 $D$ 之间的距离：
$CD = 3 - 0 = 3$，
点 $B$ 与点 $D$ 之间的距离：
$BD = 0 - (-2) = 2$，
故答案为：3；2。
(2) 点 $B$ 与点 $E$ 之间的距离：
$BE = 2 - (-2) = 4$，
点 $A$ 与点 $C$ 之间的距离：
$AC = 3 - (-4) = 7$，
发现：在数轴上，如果点 $M$ 与点 $N$ 分别表示数 $m$, $n$，则它们之间的距离可表示为：
$MN = |m - n|$，
故答案为：4；7；$|m - n|$。
(3) 利用发现的结论解决问题：
数轴上表示 $x$ 的点 $P$ 与点 $B$ 之间的距离是 1，则：
$|x - (-2)| = 1$，
即：
$|x + 2| = 1$，
解得：
$x + 2 = 1 \quad 或 \quad x + 2 = -1$，
$x = -1 \quad 或 \quad x = -3$，
故答案为：$-1$ 或 $-3$。

9. 已知线段AB = 14,在AB上有四个点C,D,M,N,且AC:CD:DB = 1:2:4,AM = $\frac{1}{2}$AC,DN = $\frac{1}{6}$DB,计算线段MN的长。

答案： 设线段AB上各点顺序为A---C---D---B，设AC=x，CD=2x，DB=4x。
∵AC+CD+DB=AB，AB=14，
∴x+2x+4x=14，解得x=2。
∴AC=2，CD=4，DB=8。
∵AM=1/2AC，AC=2，
∴AM=1，M为AC中点，MC=AC-AM=1。
∵DN=1/6DB，DB=8，
∴DN=8×1/6=4/3，N在D、B之间。
以A为原点，AB方向为正方向建立数轴：
A=0，C=A+AC=2，D=C+CD=6，N=D+DN=6+4/3=22/3，M=A+AM=1。
∴MN=N-M=22/3 -1=19/3。
答：线段MN的长为19/3。

10. 如图4-1-2-11①,点C在线段AB上,点M,N分别是AC,BC的中点,且满足AC = a,BC = b。
(1) 若a = 4 cm,b = 6 cm,求线段MN的长；
(2) 若点C为线段AB上任意一点,其他条件不变,你能猜想MN的长度吗？直接写出你的猜想结果；
(3) 若点C在线段AB的延长线上,其他条件不变,你能猜想MN的长度吗？请在图4-1-2-11②中画出图形,写出你的猜想并说明理由。

答案：
(1)
$因为M$是$AC$的中点，$AC = 4cm$，
$所以MC=\frac{1}{2}AC = 2cm$，
$因为N$是$BC$的中点，$BC = 6cm$，
$所以CN=\frac{1}{2}BC = 3cm$，
$所以MN=MC + CN=2 + 3 = 5cm$。
(2)
$因为M$是$AC$的中点，
$所以MC=\frac{1}{2}AC$，
$因为N$是$BC$的中点，
$所以CN=\frac{1}{2}BC$，
$所以MN=MC + CN=\frac{1}{2}(AC + BC)=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}(a + b)$，
当$C$为线段$AB$上任意一点时，$MN=\frac{1}{2}(a + b)$，结果与$AB$长度有关，且$MN$长度固定为$\frac{1}{2}(a + b)$。
(3)
$因为M$是$AC$的中点，
$所以MC=\frac{1}{2}AC$，
$因为N$是$BC$的中点，
$所以CN=\frac{1}{2}BC$，
$所以$
$MN=MC - CN$
$=\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}BC$
$=\frac{1}{2}(AC - BC)$
$=\frac{1}{2}(a - b)$
答：$MN$长度为$\frac{1}{2}(a - b)$，图形如题中②所示。