《2025年绩优学案七年级数学上册北师大版》

1. 观察下列式子：$1×3 + 1 = 2^{2}$；$2×4 + 1 = 3^{2}$；$3×5 + 1 = 4^{2}$；…$$按照上述规律, $(n - 1)(n + 1) + 1$$= n^{2}$。

答案： $(n - 1)(n + 1) + 1$

2. 下表中的数是按一定规律填写的,表中$a$的值应是 21。
|1|2|3|5|8|13|a|…|
|2|3|5|8|13|21|34|…|

答案： 21

3. 如图,将一张正方形纸片剪成四个大小、形状一样的小正方形,然后将其中一个小正方形再按同样的方法剪成四个更小的正方形,如此不断地进行下去。(假设正方形纸片足够大)

列表如下：
|剪的次数|1|2|3|4|5|…|n|
|正方形数量|4|7|10|13|16|…|3n + 1|

(1)如果剪n次,共剪出多少个小正方形？
(2)如果要剪出100个正方形,那么需要剪多少次？
(1) 设剪n次后，小正方形的数量为$a_n$。
观察表格，可以发现每次剪切后，小正方形的数量增加3个。
这是一个等差数列，首项$a_1 = 4$，公差$d = 3$。
根据等差数列的通项公式，$a_n = a_1 + (n - 1) × d$，
代入得：$a_n = 4 + (n - 1) × 3 = 3n + 1$。
答：剪n次后，共剪出$3n + 1$个小正方形。
(2) 为了剪出100个正方形，需要解方程：
$3n + 1 = 100$，
移项得：
$3n = 99$，
解得：
$n = 33$。
答：需要剪33次。

答案：
(1) 设剪$n$次后，小正方形的数量为$a_n$。
观察表格，可以发现每次剪切后，小正方形的数量增加3个。
这是一个等差数列，首项$a_1 = 4$，公差$d = 3$。
根据等差数列的通项公式，$a_n = a_1 + (n - 1) × d$，
代入得：$a_n = 4 + (n - 1) × 3 = 3n + 1$。
答：剪$n$次后，共剪出$3n + 1$个小正方形。
(2) 为了剪出100个正方形，需要解方程：
$3n + 1 = 100$，
移项得：
$3n = 99$，
解得：
$n = 33$。
答：需要剪33次。

4. 如图,是一组有规律的图案,它由若干个大小相同的圆片组成。第1个图案中有4个白色圆片,第2个图案中有6个白色圆片,第3个图案中有8个白色圆片,第4个图案中有10个白色圆片,……$$依此规律,第$n$个图案中有多少个白色圆片？(用含$n$的代数式表示)

答案： 第1个图案：4 = 2 × 1 + 2；
第2个图案：6 = 2 × 2 + 2；
第3个图案：8 = 2 × 3 + 2；
第4个图案：10 = 2 × 4 + 2；
……
第n个图案中白色圆片的个数为：$2n + 2$。
答：第$n$个图案中有$(2n + 2)$个白色圆片。