《2025年绩优学案七年级数学上册北师大版》

9. 某中学决定派3名教师带领a名学生到北京参加研学活动,甲旅行社的收费标准为：教师全价,学生半价优惠；乙旅行社的收费标准为：教师和学生全部按全票价的六折优惠。已知甲、乙两家旅行社的全票价均为240元。试解答下列问题：
(1) 用代数式表示甲、乙两家旅行社的收费各是多少元；
(2) 当a = 50时,选择哪一家旅行社比较合算？简单说明理由。

答案： （1）甲旅行社收费：教师费用为$3 × 240 = 720$（元），学生费用为$a × 240 × 0.5 = 120a$（元），
总收费：$720 + 120a = 120a + 720$（元）。
乙旅行社收费：总人数为$3 + a$，每人费用为$240 × 0.6 = 144$（元），
总收费：$(3 + a) × 144 = 144a + 432$（元）。
综上，甲旅行社收费为（$120a + 720$）元，乙旅行社收费为（$144a + 432$）元。
（2）当$a = 50$时：
甲旅行社收费：$120 × 50 + 720 = 6000 + 720 = 6720$（元）。
乙旅行社收费：$144 × 50 + 432 = 7200 + 432 = 7632$（元）。
$6720 \lt 7632$，即甲旅行社收费更少。
综上，选择甲旅行社更合算。

10. (1) 在下列两个条件下,分别求代数式$(a + b)(a - b)和a^2 - b^2$的值,将结果直接填写在下面的横线上：
① 当a = -2,b = 3时,$(a + b)(a - b) = $-5,$a^2 - b^2 = $-5；
② 当$a = \frac{1}{2}$,b = 1时,$(a + b)(a - b) = $$-\frac{3}{4}$,$a^2 - b^2 = $$-\frac{3}{4}$；
(2) 观察以上结果,你有什么发现？请写出结论,并再任选一组a,b的值加以验证；
(3) 利用你的发现,求$125.5^2 - 25.5^2$的值。
(2) 发现：$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$。
验证：当$a = 3$，$b = 2$时，
$(a + b)(a - b) = (3 + 2)(3 - 2) = 5$，
$a^2 - b^2 = 3^2 - 2^2 = 5$，
所以，$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$成立。
(3) $125.5^2 - 25.5^2 = (125.5 + 25.5)(125.5 - 25.5) = 151 × 100 = 15100$。

答案：
(1) ①
当$a = -2$，$b = 3$时，
$(a + b)(a - b) = (-2 + 3)(-2 - 3) = 1 × (-5) = -5$，
$a^2 - b^2 = (-2)^2 - 3^2 = 4 - 9 = -5$。
②
当$a = \frac{1}{2}$，$b = 1$时，
$(a + b)(a - b) = (\frac{1}{2} + 1)(\frac{1}{2} - 1) = \frac{3}{2} × (-\frac{1}{2}) = -\frac{3}{4}$，
$a^2 - b^2 = (\frac{1}{2})^2 - 1^2 = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$。
(2)
发现：$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$。
验证：当$a = 3$，$b = 2$时，
$(a + b)(a - b) = (3 + 2)(3 - 2) = 5$，
$a^2 - b^2 = 3^2 - 2^2 = 5$，
所以，$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$成立。
(3)
根据平方差公式，
$125.5^2 - 25.5^2 = (125.5 + 25.5)(125.5 - 25.5) = 151 × 100 = 15100$。