《2025年绩优学案七年级数学上册北师大版》

8. 某体育场一扇形区域观众席的座位按下表所列方式设置：
| 排数 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 座位数 | 12 | 15 | 18 | 21 |

按这样的方式排列下去：
(1) 第 6 排有27个座位；
(2) 小明说,他坐的那一排刚好有 100 个座位。你认为他说得对吗？请说明理由。
(2)假设第$n$排有100个座位，则$3n + 9 = 100$，$3n=100 - 9$，$3n = 91$，$n=\frac{91}{3}\approx30.33$。因为排数$n$为正整数，而$\frac{91}{3}$不是整数，所以小明说得不对。

答案：
(1)
由表格可知，每排座位数比前一排多$3$，第一排有$12$个座位，所以座位数与排数的关系为$12 + 3(n - 1)=3n + 9$（$n$为排数）。
当$n = 6$时，$3×6 + 9=27$。
故第$6$排有$27$个座位。
(2)
假设第$n$排有$100$个座位，则$3n + 9 = 100$，
$3n=100 - 9$，
$3n = 91$，
$n=\frac{91}{3}\approx30.33$。
因为排数$n$为正整数，而$\frac{91}{3}$不是整数，所以小明说得不对。

9. 观察下列两行数：
1,3,5,7,9,11,13,15,17,…$1,4,7,10,13,16,19,22,25,…$
探究发现：第 1 个相同的数是 1,第 2 个相同的数是 7,……$$ 则第 $ n $ 个相同的数是多少？

答案： 第一行数列为奇数数列，通项公式为 $a_n = 2n - 1$，其中 $n$ 为正整数。
第二行数列公差为3，首项为1，通项公式为 $b_m = 1 + 3(m - 1) = 3m - 2$，其中 $m$ 为正整数。
设第n个相同的数为x，则x同时满足 $a_k =x$ 和 $b_l = x$（k，l为某正整数），即：
$2k - 1 = 3l - 2$
化简得：
$2k = 3l - 1$
$k = \frac{3l - 1}{2}$
由于k为正整数，因此$3l - 1$必须为偶数，即l必须为奇数，设$l = 2n - 1$（n为正整数），则：
$k = \frac{3(2n - 1) - 1}{2} = \frac{6n - 3 - 1}{2} = \frac{6n - 4}{2} = 3n - 2$
将$l = 2n - 1$代入$b_l$的通项公式，得到第n个相同的数：
$x = b_{2n - 1} = 3(2n - 1) - 2 = 6n - 3 - 2 = 6n - 5$
因此第n个相同的数为$6n - 5$。

10. (实际应用)某餐厅中,一张桌子可坐 6 个人,有如图 3 - 3 - 5 所示的两种摆放方式：

(1) 当有 5 张桌子时,两种摆放方式各能坐多少人？
(2) 某天中午这个餐厅要接待 60 位顾客共同就餐,但餐厅只有 15 张这样的餐桌,餐厅空间足够大。若你是这个餐厅的经理,你会选择哪种方式来摆放餐桌？为什么？

答案：
(1) 第一种摆放方式能坐 22 人，第二种摆放方式能坐 14 人。
(2) 选择第一种方式来摆放餐桌，因为第一种方式 15 张桌子能坐 62 人，可容纳 60 位顾客，而第二种方式 15 张桌子只能坐 34 人，不能容纳 60 位顾客。