《2025年绩优学案七年级数学上册北师大版》

【例1】甲、乙两车分别从相距360 km的两地相向开出,已知甲车的速度是60 km/h,乙车的速度是40 km/h,若甲车先开出1 h,则乙车开出多长时间后两车相遇？
解题关键 相遇问题的实质为两车的路程之和为刚开始的距离。

答案： 设乙车开出$x$小时后两车相遇。
甲车先开出$1$小时，其行驶的路程为$60×1 = 60$（km）。
甲车后续又行驶了$60x$km，乙车行驶了$40x$km。
根据相遇问题的实质，两车路程之和为刚开始的距离，可列方程：
$60 + 60x + 40x = 360$
$60 + 100x = 360$
$100x = 300$
$x = 3$
答：乙车开出$3$小时后两车相遇。

【例2】甲、乙两人练习短距离赛跑,甲平均每秒跑7 m,乙平均每秒跑6.5 m。
(1)如果甲让乙先跑6 m,那么甲出发几秒后可以追上乙？
(2)如果甲让乙先跑2 s,那么甲出发几秒后可以追上乙？
解题关键 追及问题的实质为两人的路程差等于刚开始的距离。

答案：
(1)设甲出发$x$秒后可以追上乙。
根据题意，甲追上乙时，两人跑过的路程差为$6$m，甲的速度为$7x$米，乙的速度为$6.5x + 6$米（因为乙先跑了6m），所以有方程：
$7x = 6.5x + 6$，
解得$x = 12$。
答：甲出发$12$秒后可以追上乙。
(2)设甲出发$y$秒后可以追上乙。
此时乙已经跑了$2$秒，所以乙的总跑步时间为$y + 2$秒。甲追上乙时，两人跑过的路程相等，所以有方程：
$7y = 6.5(y + 2)$，
解得$y = 26$。
答：甲出发$26$秒后可以追上乙。

【例3】某项工作,甲单独做要6天完成,乙单独做要12天完成,若甲、乙合作,多少天可以完成这项工作？
解题关键 工作效率 × 工作时间 = 工作量。

答案： 设总工作量为1，甲、乙合作需要$x$天完成这项工作。
甲的工作效率为$\frac{1}{6}$，乙的工作效率为$\frac{1}{12}$。
根据题意，得$(\frac{1}{6} + \frac{1}{12})x = 1$
$\frac{1}{4}x = 1$
$x = 4$
答：甲、乙合作4天可以完成这项工作。