《2025年绩优学案七年级数学上册北师大版》

1. 已知 $ \angle AOB = 50° $,$ \angle BOC = 30° $,$ OD $ 平分 $ \angle AOC $,则 $ \angle AOD $ 的度数为(C)
A.$ 20° $
B.$ 80° $
C.$ 10° $ 或 $ 40° $
D.$ 20° $ 或 $ 80° $

答案： C

2. 已知线段 $ AB = 60 cm $,在直线 $ AB $ 上画线段 $ BC $,使 $ BC = 20 cm $,点 $ D $ 是 $ AC $ 的中点,求 $ CD $ 的长。

答案： 本题需要分两种情况进行讨论，即点$C$在线段$AB$上和点$C$在线段$AB$的延长线上。
当点$C$在线段$AB$上时：
$AC=AB - BC=60 - 20 = 40(cm)$。
因为点$D$是$AC$的中点，所以$CD=\frac{1}{2}AC = 20(cm)$。
当点$C$在线段$AB$的延长线上时：
$AC=AB + BC=60 + 20 = 80(cm)$。
因为点$D$是$AC$的中点，所以$CD=\frac{1}{2}AC = 40(cm)$。
综上，$CD$的长为$20cm$或$40cm$。

3. 如图,把一根绳子对折成线段 $ AB $,从点 $ P $ 处把绳子剪断,已知 $ AP:BP = 2:3 $,若剪断后的各段绳子中最长的一段为 $ 60 cm $,求绳子的原长。

答案： 设 $ AP = 2x $，$ BP = 3x $，则 $ AB = AP + BP = 5x $，绳子原长为 $ 2AB = 10x $。
情况1：以A为对折点
剪断后三段绳子长度分别为 $ AP $、$ AP $、$ 2PB $，即 $ 2x $、$ 2x $、$ 6x $。最长段为 $ 6x $，则 $ 6x = 60 $，解得 $ x = 10 $。原长 $ 10x = 10×10 = 100 \, cm $。
情况2：以B为对折点
剪断后三段绳子长度分别为 $ 2AP $、$ BP $、$ BP $，即 $ 4x $、$ 3x $、$ 3x $。最长段为 $ 4x $，则 $ 4x = 60 $，解得 $ x = 15 $。原长 $ 10x = 10×15 = 150 \, cm $。
结论：绳子原长为 $ 100 \, cm $ 或 $ 150 \, cm $。
$\boxed{100 \, cm 或 150 \, cm}$

4. 已知 $ \angle AOD = 160° $,$ OB $,$ OC $,$ OM $,$ ON $ 是 $ \angle AOD $ 内的射线。
(1)如图,若 $ OM $ 平分 $ \angle AOB $,$ ON $ 平分 $ \angle BOD $,当 $ OB $ 绕点 $ O $ 在 $ \angle AOD $ 内旋转时,求 $ \angle MON $ 的大小；
(2)若 $ \angle BOC = 20° $,$ OM $ 平分 $ \angle AOC $,$ ON $ 平分 $ \angle BOD $。当 $ \angle BOC $ 绕点 $ O $ 在 $ \angle AOD $ 内旋转时,求 $ \angle MON $ 的大小。

答案：
(1) 80°；
(2) 70°．

5. 如图,$ B $,$ C $ 两点把线段 $ AD $ 分成 $ 2:3:4 $ 三部分,$ M $ 是 $ AD $ 的中点,$ CD = 8 $,求 $ MC $ 的长。

答案： 设$AB=2x$，$BC=3x$，$CD=4x$。
所以$AD=AB+BC+CD=2x+3x+4x=9x$。
$M$是$AD$的中点，
所以$MD=\frac{AD}{2}=\frac{9x}{2}=4.5x$。
$CD=4x=8$，
解得$x=2$。
$MC=MD-CD=4.5x-4x=0.5x=0.5×2=1$。
所以，$MC$的长度为$1$。