《2025年绩优学案七年级数学上册北师大版》

【例 1】观察下列各式：$ - 1 × \frac { 1 } { 2 } = - 1 + \frac { 1 } { 2 } $,$ - \frac { 1 } { 2 } × \frac { 1 } { 3 } = - \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 3 } $,$ - \frac { 1 } { 3 } × \frac { 1 } { 4 } = - \frac { 1 } { 3 } + \frac { 1 } { 4 } $。
(1) 猜想：$ - \frac { 1 } { 100 } × \frac { 1 } { 101 } = $$-\frac{1}{100} + \frac{1}{101}$；(写成和的形式)
(2) 你发现的规律是：$ - \frac { 1 } { n } × \frac { 1 } { n + 1 } = $$-\frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1}$；($ n $ 为正整数)
(3) 用规律计算：$ ( - 1 × \frac { 1 } { 2 } ) + ( - \frac { 1 } { 2 } × \frac { 1 } { 3 } ) + ( - \frac { 1 } { 3 } × \frac { 1 } { 4 } ) + … + ( - \frac { 1 } { 2017 } × \frac { 1 } { 2018 } ) + ( - \frac { 1 } { 2018 } × \frac { 1 } { 2019 } ) $。

答案：
(1)
$-\frac{1}{100} + \frac{1}{101}$
(2)
$-\frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1}$
(3)
$原式= - 1+\frac{1}{2} - \frac{1}{2}+\frac{1}{3} - \frac{1}{3}+\frac{1}{4} - \cdots - \frac{1}{2018}+\frac{1}{2019}$
$= - 1+\frac{1}{2019}$
$=-\frac{2018}{2019}$

【例 2】某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛,如图 3 - 3 - 1 所示,请仔细观察并找出规律,解答下列问题：

(1) 按照此规律,摆第 10 个图时,需要62根火柴棒；摆第 $ n $ 个图时,需要6n + 2根火柴棒；
(2) 用 1202 根火柴棒能按此规律摆出“金鱼”图案吗？若能,说出是第几个图；若不能,请说明理由。
能，第200个图。

答案：
(1) 观察图形可知，第1个图火柴棒数量为8根，第2个图为14根，第3个图为20根。设第n个图需要火柴棒数量为$a_n$，通过计算可得：$14 - 8 = 6$，$20 - 14 = 6$，即后一个图比前一个图多6根火柴棒，规律为等差数列，首项$a_1 = 8$，公差$d = 6$。则通项公式为$a_n = 8 + (n - 1)×6 = 6n + 2$。当$n = 10$时，$a_{10} = 6×10 + 2 = 62$。故第10个图需要62根，第n个图需要$6n + 2$根。
(2) 令$6n + 2 = 1202$，解得$6n = 1200$，$n = 200$。$n = 200$为正整数，所以能摆出，是第200个图。
(1) 62；$6n + 2$
(2) 能，第200个图。