《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版四川专版》

13. 如图①,$P为\triangle ABC$所在平面上一点,且$\angle APB= \angle BPC= \angle CPA = 120^{\circ}$,则点$P叫做\triangle ABC$的费马点。
(1)如果点$P为锐角三角形ABC$的费马点,且$\angle ABC = 60^{\circ}$。
①求证：$\triangle ABP\sim\triangle BCP$；
②若$PA = 3$,$PC = 4$,则$PB= $______。
(2)已知锐角三角形$ABC$,分别以$AB$,$AC为边向外作等边三角形ABE和等边三角形ACD$,$CE和BD相交于点P$,如图②。
①求$\angle CPD$的度数；
②求证：点$P为\triangle ABC$的费马点。

答案：
(1)①证明:$\because \angle PAB+\angle PBA=180° -\angle APB=60°$,$\angle PBC+\angle PBA=\angle ABC=60°$,
$\therefore \angle PAB=\angle PBC$.
又$\because \angle APB=\angle BPC=120°$,
$\therefore \triangle ABP\sim \triangle BCP$.
②$2\sqrt{3}$
(2)①解:如图,$\because \triangle ABE$与$\triangle ACD$都为等边三角形,
$\therefore \angle BAE=\angle CAD=60°$,$AE=AB$,$AC=AD$,
$\therefore \angle BAE+\angle BAC=\angle CAD+\angle BAC$,
即$\angle EAC=\angle BAD$.
在$\triangle ACE$和$\triangle ADB$中,$\left\{\begin{array}{l} AC=AD,\\ \angle EAC=\angle BAD,\\ AE=AB,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ACE\cong \triangle ADB(SAS)$,$\therefore \angle 1=\angle 2$.
$\because \angle 3=\angle 4$,$\therefore \angle CPD=\angle 6=\angle 5=60°$.
②证明:如图,$\because \triangle ADF\sim \triangle PCF$,
$\therefore \frac{AF}{PF}=\frac{DF}{CF}$.
$\because \angle AFP=\angle CFD$,$\therefore \triangle AFP\sim \triangle DFC$,
$\therefore \angle APF=\angle ACD=60°$,
$\therefore \angle APC=\angle CPD+\angle APF=120°$,
$\therefore \angle BPC=180° -\angle CPD=120°$,
$\therefore \angle APB=360° -\angle BPC-\angle APC=120°$,
$\therefore$点P为$\triangle ABC$的费马点.

14. 【探究发现】如图①,$\triangle ABC$是等边三角形,$\angle AEF = 60^{\circ}$,$EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F$,当点$E是BC$的中点时,有$AE = EF$成立。
【数学思考】某数学兴趣小组在探究$AE$,$EF$的关系时,运用“从特殊到一般”的数学思想,通过验证得出如下结论：
当点$E是直线BC$上($B$,$C$除外)任意一点时(其他条件不变),结论$AE = EF$仍然成立。
假如你是该兴趣小组中的一员,请你从“点$E是线段BC$上的任意一点”“点$E是线段BC$延长线上的任意一点”“点$E是线段BC$反向延长线上的任意一点”三种情况中,任选一种情况,在图②中画出图形,并证明$AE = EF$。
【拓展应用】当点$E在线段BC$的延长线上时,若$CE = BC$,在图③中画出图形,并运用上述结论求出$S_{\triangle ABC}:S_{\triangle AEF}$的值。

答案： 【数学思考】选择"点E是线段BC上的任意一点"这种情况.
证明如下:如图①,在AB上截取AG,使$AG=EC$,连接EG,
$\because \triangle ABC$是等边三角形,$\therefore AB=BC$,$\angle B=\angle ACB=60°$.
$\because AG=EC$,$\therefore BG=BE$,
$\therefore \triangle BEG$是等边三角形,$\angle BGE=60°$,
$\therefore \angle AGE=120°$.
$\because CF$是外角的平分线,
$\therefore \angle ECF=120° =\angle AGE$.
$\because \angle AEC$是$\triangle ABE$的外角,
$\therefore \angle AEC=\angle B+\angle GAE=60° +\angle GAE$.
$\because \angle AEC=\angle AEF+\angle FEC=60° +\angle FEC$,
$\therefore \angle GAE=\angle FEC$.
在$\triangle AGE$和$\triangle ECF$中,$\left\{\begin{array}{l} \angle GAE=\angle CEF,\\ AG=EC,\\ \angle AGE=\angle ECF,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle AGE\cong \triangle ECF(ASA)$,$\therefore AE=EF$.
【拓展应用】
如图②,作$CH\perp AE$于H点,
$\therefore \angle AHC=90°$.
由【数学思考】得
$AE=EF$,
又$\because \angle AEF=60°$,
$\therefore \triangle AEF$是等边三角形,
$\therefore \triangle ABC\sim \triangle AEF$.
$\because CE=BC=AC$,$\triangle ABC$是等边三角形,
$\therefore \angle CAH=30°$,$AH=EH$.
$\therefore CH=\frac{1}{2}AC$,$AH=\frac{\sqrt{3}}{2}AC$,$AE=\sqrt{3}AC$,
$\therefore \frac{AC}{AE}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,$\therefore \frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle AEF}}=\left(\frac{AC}{AE}\right)^2=\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2=\frac{1}{3}$.