《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版四川专版》

6. 如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle ABC = 90^{\circ}$,先把$\triangle ABC$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$ 到$\triangle DBE$ 后,再把$\triangle ABC$ 沿射线 $AB$ 平移到$\triangle FEG$,$DE$,$FG$ 相交于点 $H$.
(1) 判断线段 $DE$,$FG$ 的位置关系,并说明理由；
(2) 连接 $CG$,求证：四边形 $CBEG$ 是正方形.
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答案： （1）解：FG⊥ED.理由如下：
∵△ABC绕点B顺时针旋转90°到△DBE，
∴∠DEB=∠ACB.
∵把△ABC沿射线AB平移到△FEG，
∴∠GFE=∠A.
∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠ACB=90°，
∴∠DEB+∠GFE=90°，
∴∠FHE=90°，
∴FG⊥ED. （2）证明：根据旋转和平移可得∠GEF=90°，∠CBE=90°，CG//EB，CB=BE.
∵CG//EB，
∴∠BCG=∠CBE=90°，
∴四边形CBEG是矩形.
∵CB=BE，
∴四边形CBEG是正方形.

7. 如图,在$\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle BAC$,$\angle ABC$ 的平分线相交于点 $D$,$DE\perp BC$ 于点 $E$,$DF\perp AC$ 于点 $F$,问四边形 $CFDE$ 是正方形吗？请说明理由.
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答案： 解：四边形CFDE是正方形.理由如下：过点D作DG⊥AB，垂足为点G（图略）.
∵AD，BD分别平分∠BAC，∠ABC，DF⊥AC，DG⊥AB，DE⊥BC，
∴ED=DG，DG=DF，
∴ED=DF.
∵DF⊥AC，DE⊥BC，∠C=90°，
∴四边形CFDE是矩形.
∵ED=DF，
∴四边形CFDE是正方形.

8. 如图,已知正方形 $ABCD$ 的边长为 $4$,$P$ 是对角线 $BD$ 上一点,$PE\perp BC$ 于点 $E$,$PF\perp CD$ 于点 $F$,连接 $AP$,$EF$. 给出下列结论：① $PD = \sqrt{2}EC$；② 四边形 $PECF$ 的周长为 $8$；③ $\triangle APD$ 一定是等腰三角形；④ $AP = EF$；⑤ $EF$ 的最小值为 $2\sqrt{2}$；⑥ $AP\perp EF$. 其中正确结论的序号有( ).

A.①②④⑤⑥
B.①②④⑤
C.②④⑤
D.②④⑤⑥

答案： A

9. 如图,在$\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$AD$ 是$\angle BAC$ 的平分线,点 $O$ 为 $AB$ 的中点,连接 $DO$ 并延长到点 $E$,使 $OE = OD$,连接 $AE$,$BE$.
(1) 求证：四边形 $AEBD$ 是矩形.
(2) 当$\triangle ABC$ 满足什么条件时,矩形 $AEBD$ 是正方形？并说明理由.
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答案： （1）证明：
∵点O为AB的中点，
∴OA=OB.又
∵OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形.
∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴□AEBD是矩形. （2）解：当∠BAC=90°时，矩形AEBD是正方形.理由如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴∠ABD=∠BAD=45°，
∴AD=BD.
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形.