《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版四川专版》

如图①,李叔叔想要检测雕塑底座正面四边形 $ABCD$ 是否为正方形,但他随身只带了有刻度的卷尺. 请你设计一种方案,帮助李叔叔检测四边形 $ABCD$ 是否为正方形.(图②为备用图)
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答案： 解：方案如下.（1）用卷尺分别测量AB，CD，AD，BC的长度，当AB=CD=AD=BC时，四边形ABCD为菱形，否则四边形ABCD不是菱形，更不是正方形.（2）当四边形ABCD是菱形时，用卷尺测量对角线AC和BD的长度.当AC=BD时，四边形ABCD是正方形，否则四边形ABCD不是正方形.

如图,在菱形 $ABCD$ 中,点 $E$,$O$,$F$ 分别为 $AB$,$AC$,$AD$ 的中点,连接 $CE$,$CF$,$OE$,$OF$.
(1) 求证：$\triangle BCE\cong\triangle DCF$.
(2) 当 $AB$ 与 $BC$ 满足什么关系时,四边形 $AEOF$ 是正方形？请说明理由.
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答案： （1）证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D，AB=BC=DC=AD.
∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，
∴AE=BE=DF=AF，OF=1/2DC，OE=1/2BC，OE//BC.在△BCE和△DCF中，{BE=DF，∠B=∠D，BC=DC，
∴△BCE≌△DCF（SAS）. （2）解：当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形.理由如下：由（1）得AE=OE=OF=AF，
∴四边形AEOF是菱形.
∵AB⊥BC，OE//BC，
∴OE⊥AB，
∴∠AEO=90°，
∴四边形AEOF是正方形.