《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版四川专版》

8. 选择适当的方法解下列方程：
(1)$$ 2 ( x - 1 ) ^ { 2 } = 1 - x $$；
(2)$$ x ^ { 2 } - 5 x = - 6 $$。

答案： 8.解:
(1)$x_{1}=1,x_{2}=\frac {1}{2}.$
(2)$x_{1}=2,x_{2}=3.$

9. 先阅读,再解题：
解方程$$ ( x - 1 ) ^ { 2 } - 5 ( x - 1 ) + 4 = 0 $$时,可以将$$ x - 1 $$看成一个整体,设$$ x - 1 = y $$,则原方程可化为$$ y ^ { 2 } - 5 y + 4 = 0 $$,解得$$ y _ { 1 } = 1, y _ { 2 } = 4 $$。
当$$ y = 1 $$时,$$ x - 1 = 1 $$,解得$$ x = 2 $$；
当$$ y = 4 $$时,$$ x - 1 = 4 $$,解得$$ x = 5 $$,
所以原方程的解为$$ x _ { 1 } = 2, x _ { 2 } = 5 $$。
请利用上述方法解方程：$$ ( 3 x - 5 ) ^ { 2 } - 4 ( 5 - 3 x ) + 3 = 0 $$。

答案： 9.解:设$y=3x-5,$
则原方程转化为$y^{2}+4y+3=0,$
解得$y_{1}=-1,y_{2}=-3.$
当$y=-1$时,$3x-5=-1$,得$x=\frac {4}{3};$
当$y=-3$时,$3x-5=-3$,得$x=\frac {2}{3},$
所以原方程的解为$x_{1}=\frac {4}{3},x_{2}=\frac {2}{3}.$

10. 已知关于$$ x $的一元二次方程$ ( a + c ) x ^ { 2 } + 2 b x + ( a - c ) = 0 $$,其中$$ a $$,$$ b $$,$$ c $分别为$ \triangle A B C $$三边的长。
(1)如果$$ x = - 1 $$是方程的根,试判断$$ \triangle A B C $$的形状,并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断$$ \triangle A B C $$的形状,并说明理由；
(3)如果$$ \triangle A B C $$是等边三角形,试求这个一元二次方程的根。

答案： 10.解:
(1)$\triangle ABC$是等腰三角形.理由如下:
$\because x=-1$是方程的根,
$\therefore (a+c)×(-1)^{2}-2b+(a-c)=0,$
$\therefore a+c-2b+a-c=0,$
$\therefore a-b=0,$
$\therefore a=b,$
$\therefore \triangle ABC$是等腰三角形.
(2)$\triangle ABC$是直角三角形.理由如下:
∵方程有两个相等的实数根,
$\therefore (2b)^{2}-4(a+c)(a-c)=0,$
$\therefore 4b^{2}-4a^{2}+4c^{2}=0,$
$\therefore a^{2}=b^{2}+c^{2},$
$\therefore \triangle ABC$是直角三角形.
(3)$\because \triangle ABC$是等边三角形,
$\therefore (a+c)x^{2}+2bx+(a-c)=0$可整理为$2ax^{2}+2ax=0.$
$\therefore x^{2}+x=0,$
解得$x_{1}=0,x_{2}=-1.$

11. 在水果销售旺季,某水果店购进一优质水果,进价为$$ 20 $元$ / \mathrm { kg } $$,售价不低于$$ 20 $元$ / \mathrm { kg } $$,且不超过$$ 32 $元$ / \mathrm { kg } $$,根据销售情况,发现该水果一天的销售量$$ y ( \mathrm { kg } ) $与该天的售价$ x $$(元$$ / \mathrm { kg } $$)之间满足如下表所示的一次函数关系。
| 销售量$$ y / \mathrm { kg } $$ | $$ … $$ | $$ 34.8 $$ | $$ 32 $$ | $$ 29.6 $$ | $$ 28 $$ | $$ … $$ |
| 售价$$ x / $$(元$$ / \mathrm { kg } $$) | $$ … $$ | $$ 22.6 $$ | $$ 24 $$ | $$ 25.2 $$ | $$ 26 $$ | $$ … $$ |

(1)某天这种水果的售价为$$ 23.5 $元$ / \mathrm { kg } $$,求当天该水果的销售量；
(2)如果某天销售这种水果获利$$ 150 $$元,那么该天水果的售价为多少？

答案： 11.解:
(1)设$y$与$x$之间的函数关系式为$y=kx+b,$
将$(22.6,34.8),(24,32)$分别代入$y=kx+b$,得
$\left\{\begin{array}{l} 22.6k+b=34.8,\\ 24k+b=32,\end{array}\right. $
解得$\left\{\begin{array}{l} k=-2,\\ b=80,\end{array}\right. $
∴$y$与$x$之间的函数关系式为$y=-2x+80.$
当$x=23.5$时,$y=-2×23.5+80=33.$
答:当天该水果的销售量为33 kg.
(2)根据题意得$(x-20)(-2x+80)=150,$
解得$x_{1}=35,x_{2}=25.$
$\because 20≤x≤32,$
$\therefore x=25.$
答:如果某天销售这种水果获利150元,那么该天水果的售价为25元/kg.