《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版四川专版》

6. 在任意一个三角形内部画一个小三角形,使其各边与原三角形各边平行,则它们的位似中心是( )。

A.一定点
B.原三角形三边垂直平分线的交点
C.原三角形角平分线的交点
D.位置不定的一点

答案： D

7. 如图,原点 $ O $ 是 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle A'B'C' $ 的位似中心,点 $ A(1,0) $ 与点 $ A'(-2,0) $ 是对应点,$ \triangle ABC $ 的面积是 $ \dfrac{3}{2} $,则 $ \triangle A'B'C' $ 的面积是______。

答案： 6

8. 如图,在正方形网格中,每一个小正方形的边长都为 $ 1 $,$ \triangle OAB $ 的顶点分别为 $ O(0,0) $,$ A(1,2) $,$ B(2,-1) $。
(1)以点 $ O(0,0) $ 为位似中心,按相似比 $ 1:3 $ 在位似中心的同侧将 $ \triangle OAB $ 放大为 $ \triangle OA'B' $,放大后点 $ A $,$ B $ 的对应点分别为 $ A' $,$ B' $,请在图中画出 $ \triangle OA'B' $；
(2)在(1)中,若 $ C(a,b) $ 为线段 $ AB $ 上任一点,写出变化后点 $ C $ 的对应点 $ C' $ 的坐标：______；
(3)直接写出四边形 $ ABB'A' $ 的面积：______。

答案：

(1)如图，△OA'B'即为所求作三角形.
(2)(3a,3b)
(3)20

9. 如图,$ \triangle ABC $ 与 $ \triangle A'B'C' $ 是位似图形,点 $ A $,$ B $,$ A' $,$ B' $,$ O $ 共线,点 $ O $ 为位似中心。
(1)$ AC $ 与 $ A'C' $ 平行吗？为什么？
(2)若 $ AB = 2A'B' $,$ OC' = 5 $,求 $ CC' $ 的长。

答案：
(1)AC//A'C'.理由如下：
∵△ABC与△A'B'C'是位似图形，
∴△ABC∽△A'B'C'，
∴∠A=∠C'A'B'，
∴AC//A'C'.
(2)
∵△ABC∽△A'B'C'，
∴$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$.
∵AB=2A'B'，
∴$\frac{AC}{A'C'}=2$.又
∵△ABC与△A'B'C'是位似图形，
∴$\frac{OC}{OC'}=\frac{AC}{A'C'}=2$.
∵OC'=5，
∴OC=10，CC'=OC-OC'=10-5=5.

如果两个一次函数 $ y = k_1x + b_1 $ 和 $ y = k_2x + b_2 $ 满足 $ k_1 = k_2 $,$ b_1 \neq b_2 $,那么称这两个一次函数为“平行一次函数”。
如图,已知函数 $ y = -2x + 4 $ 的图象与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于 $ A $,$ B $ 两点,一次函数 $ y = kx + b $ 与 $ y = -2x + 4 $ 是“平行一次函数”。
(1)若函数 $ y = kx + b $ 的图象过点 $ (3,1) $,求 $ b $ 的值；
(2)若函数 $ y = kx + b $ 的图象与两坐标轴围成的三角形和 $ \triangle AOB $ 构成位似图形,位似中心为原点,相似比为 $ 1:2 $,求函数 $ y = kx + b $ 的表达式。

答案：
解：
(1)由已知得k=-2，把点(3,1)的坐标和k=-2代入y=kx+b中得1=-2×3+b，
∴b=7.
(2)根据相似比为1:2得函数y=kx+b的图象有两种情况，如图.①不经过第三象限时，过(1,0)和(0,2)，这时函数的表达式为y=-2x+2；②不经过第一象限时，过(-1,0)和(0,-2)，这时函数的表达式为y=-2x-2.