《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版四川专版》

8. 如图,以矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 为一边向左下方作正方形 $AFEC$,延长 $AB$ 交 $EF$ 于点 $G$。若 $AB = 3$,$BC = 4$,则 $EG$ 的长为.

答案： $\frac{5}{4}$

9. 一块直角三角形木板的面积为 $1.5\mathrm{m}^2$,一条直角边 $AB$ 长为 $1.5\mathrm{m}$,工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面,请甲、乙两位同学设计加工方案,图①是甲同学的设计方案,图②是乙同学的设计方案。你认为哪位同学设计的方案较好？判断并说明理由。(加工损耗忽略不计,计算结果中可保留分数)

答案： 甲同学设计的方案较好.理由如下：由$AB=1.5\ m$，$S_{\triangle ABC}=1.5\ m^2$，可得$BC=2\ m$，如图①，若设甲设计的正方形桌面边长为$x\ m$，由$DE// AB$，得$Rt\triangle CDE\backsimRt\triangle CBA$，$\therefore\frac{x}{AB}=\frac{BC-x}{BC}$，即$\frac{x}{1.5}=\frac{2-x}{2}$，$\therefore3-1.5x=2x$，$x=\frac{3}{3.5}=\frac{6}{7}$.如图②，过点$B$作$Rt\triangle ABC$斜边$AC$上的高$BH$，交$DE$于点$P$，交$AC$于点$H$.由$AB=1.5\ m$，$BC=2\ m$，得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{1.5^2+2^2}=2.5\ (m)$，由$AC\cdot BH=AB\cdot BC$可得，$BH=\frac{AB\cdot BC}{AC}=\frac{1.5×2}{2.5}=1.2\ (m)$.设乙设计的正方形桌面的边长为$y\ m$，$\because DE// AC$，$\thereforeRt\triangle BDE\backsimRt\triangle BAC$.$\therefore\frac{BP}{BH}=\frac{DE}{AC}$，即$\frac{1.2-y}{1.2}=\frac{y}{2.5}$，解得$y=\frac{30}{37}$.$\because\frac{6}{7}=\frac{30}{35}＞\frac{30}{37}$，即$x^2＞y^2$，$\therefore$甲同学设计的方案较好.

九(1)班数学学习合作小组在学过《图形的相似》这一章后,发现可将相似三角形的定义、判定以及性质拓展到矩形、菱形的相似中去。如我们可以定义：“长和宽之比相等的矩形是相似矩形”。相似矩形也有以下的性质：相似矩形的对角线之比等于相似比,周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方等。请你参与这个学习小组,一同探索下列问题：
(1) 写出判定菱形相似的一种判定方法；
(2) 如图,将菱形 $ABCD$ 沿着直线 $AC$ 向右平移后得到菱形 $A'B'C'D'$,试证明：四边形 $A'FCE$ 是菱形,且菱形 $ABCD\backsim$ 菱形 $A'FCE$；
(3) 若 $AC = \sqrt{2}$,菱形 $A'FCE$ 的面积是菱形 $ABCD$ 面积的一半,求平移的距离 $AA'$ 的长.

答案：
(1)有一组角对应相等（或两组对角线对应成比例）.
(2)证明：利用平移得$\angle DAB=\angle D'A'B'$，$AD// A'E$，$AB// A'F$，$\therefore\frac{A'E}{AD}=\frac{A'F}{AB}=\frac{A'C}{AC}$.又$\because AD=AB$，$\therefore A'E=A'F$，$\therefore$四边形$A'FCE$是菱形.再利用
(1)的结论，得到证明.
(3)$\sqrt{2}-1$

如图①,把一张正方形纸片对折得到长方形 $ABCD$,再沿 $\angle ADC$ 的平分线 $DE$ 折叠,如图②,点 $C$ 落在点 $C'$ 处,最后按图③所示方式折叠,使点 $A$ 落在 $DE$ 的中点 $A'$ 处,折痕是 $FG$。若原正方形纸片的边长为 $6\mathrm{cm}$,则 $FG = $.

答案： $\sqrt{10}\ cm$