《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版四川专版》

7. 现有三张卡片(分别标有数字 $ -1,1,-2 $),它们的背面完全相同,现将这三张卡片背面朝上洗均匀后随机抽取一张,以其正面的数字作为 $ a $ 的值,放回后再从中随机抽取一张,以其正面的数字作为 $ b $ 的值,则点 $ (a,b) $ 在第三象限的概率是( )。

A.$ \dfrac{4}{9} $
B.$ \dfrac{1}{3} $
C.$ \dfrac{1}{2} $
D.$ \dfrac{2}{3} $

答案： A

8. 三名九年级学生坐在仅有的三个座位上,起身后重新就座,恰好有两名同学没有坐回原座位的概率为( )。

A.$ \dfrac{1}{9} $
B.$ \dfrac{1}{6} $
C.$ \dfrac{1}{4} $
D.$ \dfrac{1}{2} $

答案： D

9. 甲、乙两人用两个骰子做游戏,两个骰子同时抛出,如果出现两个 $ 5 $ 点,那么甲赢；如果出现一个 $ 4 $ 点和一个 $ 6 $ 点,那么乙赢；如果出现其他情况,那么重新抛掷。你对这个游戏公平性的评价是____。(填“公平”“对甲有利”或“对乙有利”)

答案： 对乙有利

10. 桌面上有四张正面分别标有数字 $ 1,2,3,4 $ 的不透明卡片,它们除数字外其余全部相同,现将它们背面朝上并洗匀。
(1)随机翻开一张卡片,正面所标数字大于 $ 2 $ 的概率为____；
(2)随机翻开一张卡片,从余下的三张卡片中再翻开一张,求翻开的两张卡片正面所标数字之和是偶数的概率。

答案：
解:
(1)$\frac{1}{2}$
(2)画树状图如下.

所有等可能结果有12种，两张卡片正面所标数字之和是偶数的有4种，
所以翻开的两张卡片正面所标数字之和是偶数的概率$P=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。

数学来源于生活。学习数学是为了更好地解决实际生活中的问题。
阅读下图中的对话,解答提出的问题。

(1)分别用 $ a,b $ 表示小冬从小丽、小兵的袋子中抽出的卡片上标有的数字,请用画树状图法或列表法写出 $ (a,b) $ 的所有取值。
(2)小冬抽出的 $ a,b $,使关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-ax + 2b = 0 $ 的根为有理数时小丽赢,为无理数时小兵赢,你觉得游戏对双方是否公平？若公平,请说明理由；若不公平,请修改游戏方案。

答案： 解:
(1)用列表法表示$(a,b)$对应的值如下.
| | | | |
| --- | --- | --- | --- |
| | $b$ | | |
| $a$ | 1 | 2 | 3 |
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) |
(2)游戏不公平。
$\because$符合有理数根的有2种，而符合无理数根的只有1种，
$\therefore P$(小丽赢)$=\frac{1}{6}$，$P$(小兵赢)$=\frac{1}{12}$，
$\therefore P$(小丽赢)$\neq P$(小兵赢)，
$\therefore$这个游戏对双方不公平。
设计方案:小冬抽出的$a,b$使关于$x$的一元二次方程$x^{2}-ax + 2b = 0$的根为等根时小丽赢，为无理数时小兵赢。

某校组织一项公益知识竞赛,比赛规定：每个班级由 $ 2 $ 名男生、$ 2 $ 名女生及 $ 1 $ 名班主任老师组成代表队,但参赛时,每班只能有 $ 3 $ 名队员上场参赛,班主任老师必须参加,另外 $ 2 $ 名队员分别在 $ 2 $ 名男生和 $ 2 $ 名女生中各随机抽出 $ 1 $ 名。九(1)班由甲、乙 $ 2 $ 名男生和丙、丁 $ 2 $ 名女生及 $ 1 $ 名班主任组成了代表队,求恰好抽到由男生甲、女生丙和这位班主任一起上场参赛的概率。(请用“画树状图”或“列表”或“列举”等方法给出分析过程)

答案： 解:可能出现的所有结果列表如下.
| | | |
| --- | --- | --- |
| | 女生 | |
| 男生 | 丙 | 丁 |
| 甲 | (甲,丙) | (甲,丁) |
| 乙 | (乙,丙) | (乙,丁) |
共有4种可能的结果，且每种的可能性相同，其中恰好抽到由男生甲、女生丙和这位班主任一起上场参赛的结果有1种，所以恰好抽到由男生甲、女生丙和这位班主任一起上场参赛的概率$P=\frac{1}{4}$。