《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版四川专版》

7. 如图,在$\triangle ABC$中,$D$,$E分别是AB和AC$上的点,且$DE// BC$。
(1)若$AD = 5$,$DB = 7$,$EC = 12$,求$AE$的长；
(2)若$AB = 16$,$AD = 4$,$AE = 8$,求$EC$的长。

答案：
(1)$\because DE// BC$,$\therefore \frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$.$\because AD=5$,$DB=7$,$EC=12$,$\therefore \frac{5}{7}=\frac{AE}{12}$,解得$AE=\frac{60}{7}$.
(2)$\because DE// BC$,$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$.$\because AB=16$,$AD=4$,$AE=8$,$\therefore \frac{4}{16}=\frac{8}{AC}$,解得$AC=32$,$\therefore EC=AC-AE=32-8=24$.

8. 如图,$AB// CD$,$OD = 2OA$,$BC = 9$,则$OC$的长为( )。

A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$6$

答案： D

9. 如图,已知直线$l_{1}// l_{2}// l_{3}$,直线$AC和DF分别与l_{1}$,$l_{2}$,$l_{3}相交于点A$,$B$,$C和点D$,$E$,$F$。如果$AB = 1$,$EF = 3$,那么下列各式正确的是( )。

A.$BC:DE = 3:1$
B.$BC:DE = 1:3$
C.$BC\cdot DE = 3$
D.$BC\cdot DE = \frac{1}{3}$

答案： C

10. 如图,$AD是\triangle ABC$的中线,$AE = EF = FC$,$BE交AD于点G$,则$\frac{AG}{AD} = $____。

答案： $\frac{1}{2}$

11. 如图,在$\triangle ABC$中,点$D$,$E$,$F分别是边AB$,$AC$,$BC$上的点,$DE// BC$,$EF// AB$,且$AD:DB = 3:5$,那么$CF:CB$等于____。

答案： $5:8$

12. 如图,点$E是□ ABCD的边AB$延长线上的一点,$DE交BC于点F$,$\frac{BE}{AB} = \frac{1}{3}$,$EF = 2$,$BF = 1.5$,求$DF$,$BC$的长。

答案： 解:$\because$四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore AD// BC$,$\therefore \frac{BE}{AB}=\frac{EF}{DF}$,$\therefore \frac{1}{3}=\frac{2}{DF}$,$\therefore DF=6$.又$\because CD// BE$,$\therefore \frac{BF}{CF}=\frac{EF}{DF}$,$\therefore \frac{1.5}{CF}=\frac{2}{6}$,$\therefore CF=4.5$,$\therefore BC=CF+BF=6$.

阅读与计算,请阅读以下材料,并完成相应的问题。
角平分线分线段成比例定理,如图①,在$\triangle ABC$中,$AD平分\angle BAC$,则$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD}$。
下面是这个定理的部分证明过程。
证明：如图②,过点$C作CE// DA$,交$BA的延长线于点E$……
任务：
(1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分；
(2)如图③,在$Rt\triangle ABC$中,$AB = 3$,$BC = 4$,$\angle ABC = 90^{\circ}$,$AD平分\angle BAC$,求$\triangle ABD$的周长。

答案：
(1)证明:$\because CE// AD$,$\therefore \frac{AB}{AE}=\frac{BD}{CD}$,$\angle 2=\angle ACE$,$\angle 1=\angle E$.$\because \angle 1=\angle 2$,$\therefore \angle ACE=\angle E$,$\therefore AE=AC$,$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.
(2)解:$\because AB=3$,$BC=4$,$\angle ABC=90^{\circ}$,$\therefore AC=5$.$\because AD$平分$\angle BAC$,$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{CD}{BD}$,即$\frac{5}{3}=\frac{CD}{BD}$,$\therefore BD=\frac{3}{8}BC=\frac{3}{2}$,$\therefore AD=\sqrt{BD^{2}+AB^{2}}=\sqrt{(\frac{3}{2})^{2}+3^{2}}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$,$\therefore \triangle ABD$的周长$=\frac{3}{2}+3+\frac{3\sqrt{5}}{2}=\frac{9+3\sqrt{5}}{2}$.