《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版四川专版》

6. 如图,□ABCD的对角线AC平分$ \angle BAD $.求证：四边形ABCD是菱形.
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答案： 证明:
∵AC平分∠BAD,
∴∠BAC=∠CAD.在□ABCD中,AD//BC,
∴∠DAC=∠ACB,
∴∠BAC=∠ACB,
∴AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形.

7. 如图,已知□ABCD中,点E,F分别是AB,BC上的点,$ AE = CF $,且$ \angle AED = \angle CFD $.求证：四边形ABCD是菱形.
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答案： 证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C.在△AED与△CFD中,∠A=∠C,AE=CF,∠AED=∠CFD,
∴△AED≌△CFD(ASA),
∴AD=CD.又
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴四边形ABCD是菱形.

如图,在四边形ABCD中,$ BC = CD $,$ \angle C = 2\angle BAD $.O是四边形ABCD内一点,且$ OA = OB = OD $.求证：
(1)$ \angle BOD = \angle C $；
(2)四边形OBCD是菱形.
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答案：
(1)证明:如图,延长AO到E.
∵OA=OB,
∴∠ABO=∠BAO.又∠BOE=∠ABO+∠BAO,
∴∠BOE=2∠BAO,同理∠DOE=2∠DAO,
∴∠BOE +∠DOE=2∠BAO+2∠DAO=2(∠BAO+∠DAO),即∠BOD=2∠BAD.又∠C=2∠BAD,
∴∠BOD=∠C.
(2)证明:如图,连接OC,
∵BC=CD,OB=OD,OC是公共边,
∴△OBC≌△ODC,
∴∠BOC=∠DOC,∠BCO=∠DCO.
∵∠BOD=∠BOC+∠DOC,∠BCD=∠BCO+∠DCO,
∴∠BOC=$\frac{1}{2}$∠BOD,∠BCO=$\frac{1}{2}$∠BCD.又∠BOD=∠BCD,
∴∠BOC=∠BCO,
∴BO=BC.又OB=OD,BC=CD,
∴OB=BC=CD=DO,
∴四边形OBCD是菱形.

如图,$ \triangle ABC $中,D是AB上一点,$ DE \perp AC $于点E,F是AD的中点,$ FG \perp BC $于点G,与DE交于点H,若$ FG = AF $,AG平分$ \angle CAB $,连接GE,GD.
(1)求证：$ \triangle ECG \cong \triangle GHD $.
(2)小亮同学经过探究发现：$ AD = AC + EC $.请你帮助小亮同学证明这一结论.
(3)若$ \angle B = 30^{\circ} $,判断四边形AEGF是否为菱形,并说明理由.
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答案：
(1)证明:
∵AF=FG,
∴∠FAG=∠FGA.
∵AG平分∠CAB,
∴∠CAG=∠FAG,
∴∠CAG=∠FGA,
∴AC//FG.
∵DE⊥AC,
∴FG⊥DE.
∵FG⊥BC,
∴DE//BC,
∴AC⊥BC,
∴∠C=∠DHG=90°,∠CGE=∠GED.
∵F是AD的中点,FG//AE,
∴H是ED的中点,
∴FG是线段ED的垂直平分线,
∴GE=GD,∠GDE=∠GED,
∴∠CGE=∠GDE,
∴△ECG≌△GHD.
(2)证明:如图,过点G作GP⊥AB于P,
∴GC=GP.又AG=AG,
∴△CAG≌△PAG,
∴AC=AP.由
(1)可得EG=DG,
∴Rt△ECG≌Rt△DPG,
∴EC=PD,
∴AD=AP+PD=AC+EC.
(3)解:四边形AEGF是菱形.理由如下:
∵∠B=30°,
∴∠ADE=30°,
∴AE=$\frac{1}{2}$AD,
∴AE=AF=FG.由
(1)得AE//FG,
∴四边形AEGF是平行四边形,
∴四边形AEGF是菱形.