《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版四川专版》

6. 如图,在△ABC中,D是AC的中点,E是线段BC延长线上一点,过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F,连接AE,CF.
(1)求证：AF= CE；
(2)若AC= EF,试判断四边形AFCE的形状,并证明你的结论.

答案： （1）证明:在$\triangle ADF$和$\triangle CDE$中，
$\because AF// BE$，
$\therefore \angle FAD=\angle ECD$.
$\because D$是$AC$的中点，
$\therefore AD=CD$.
又$\because \angle ADF=\angle CDE$，
$\therefore \triangle ADF\cong \triangle CDE$.
$\therefore AF=CE$.
（2）解:若$AC=EF$，则四边形$AFCE$是矩形.
证明如下:由（1）知$AF=CE$，$AF// CE$，
$\therefore$四边形$AFCE$是平行四边形.
又$\because AC=EF$，
$\therefore$平行四边形$AFCE$是矩形.

7. 如图,在△ABC中,点D是边BC上的点(与B,C两点不重合),过点D作DE//AC,DF//AB,分别交AB,AC于E,F两点,则下列说法正确的是( ).

A.若AD⊥BC,则四边形AEDF是矩形
B.若AD垂直平分BC,则四边形AEDF是矩形
C.若BD= CD,则四边形AEDF是菱形
D.若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是菱形

答案： D

8. 如图,将□ABCD的边AB延长到点E,使AB= BE,连接DE,EC,DE交BC于点O.
(1)求证：△ABD≌△BEC；
(2)连接BD,若∠BOD= 2∠A,求证：四边形BECD是矩形.

答案： （1）证明:在$□ ABCD$中，$AD=BC$，$AB=CD$，$AB// CD$，则$BE// CD$.
又$\because AB=BE$，
$\therefore BE=DC$，
$\therefore$四边形$BECD$是平行四边形，$\therefore BD=EC$.
在$\triangle ABD$与$\triangle BEC$中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=BE,\\ BD=EC,\\ AD=BC,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABD\cong \triangle BEC(SSS)$.
（2）由（1）知，四边形$BECD$是平行四边形，
$\therefore OD=OE$，$OC=OB$.
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore \angle A=\angle BCD$，
即$\angle A=\angle OCD$.
又$\because \angle BOD=2\angle A$，$\angle BOD=\angle OCD+\angle ODC$，
$\therefore \angle OCD=\angle ODC$，
$\therefore OC=OD$，
$\therefore OC+OB=OD+OE$，
即$BC=ED$，
$\therefore$四边形$BECD$是矩形.

9. 如图,□ABCD的对角线交点为O,点E,F分别在边AB,CD上,分别沿DE,BF折叠四边形ABCD,A,C两点恰好都落在O点处,且四边形DEBF为菱形.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)在四边形ABCD中,求$\frac{AB}{BC}$的值.

答案：
（1）证明:如图，连接$OE$.
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore DO=OB$.
$\because$四边形$DEBF$是菱形，
$\therefore DE=BE$，
$\therefore EO\perp BD$，
$\therefore \angle DOE=90^{\circ}$，
即$\angle DAE=90^{\circ}$.
又四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore$四边形$ABCD$是矩形.

（2）解:如图，$\because$四边形$DEBF$是菱形，
$\therefore \angle FDB=\angle EDB$.
又由题意知$\angle EDB=\angle ADE$，
由（1）知四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore \angle ADF=90^{\circ}$，
即$\angle FDB+\angle EDB+\angle ADE=90^{\circ}$，
则$\angle ADB=60^{\circ}$，
$\therefore$在$Rt\triangle ADB$中，有$AD:AB=1:\sqrt{3}$，
则$\frac{AB}{BC}=\sqrt{3}$.