《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版四川专版》

5. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$,$AC = 6\space cm$,$\angle BOC = 120^{\circ}$,求：
(1)$\angle ACB$ 的度数；
(2)$AB$,$BC$ 的长度。

答案： 解:
(1)∠ACB的度数为30°.
(2)AB,BC的长度分别为3cm,3√3cm.

6. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$AB = 3$,对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$,$AE$ 垂直平分 $OB$ 于点 $E$,求 $AD$ 的长。

答案： 解:
∵四边形ABCD是矩形,
∴OB=OD,OA=OC,AC=BD,
∴OA=OB.
∵AE垂直平分OB,
∴AB=AO,
∴OA=AB=OB=3,
∴BD=2OB=6,
∴AD=√(BD²-AB²)=3√3.

7. 如图,矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$,$CE// BD$,$DE// AC$,$AD = 2\sqrt{3}$,$DE = 2$,则四边形 $OCED$ 的面积是( )。


A.$2\sqrt{3}$
B.$4$
C.$4\sqrt{3}$
D.$8$

答案： A

8. 如图,将矩形 $ABCD$ 绕点 $A$ 顺时针旋转到矩形 $AB'C'D'$ 的位置,旋转角为 $\alpha(0^{\circ} \lt \alpha \lt 90^{\circ})$。若 $\angle 1 = 110^{\circ}$,则 $\alpha =$______。

答案： 20°

9. 如图,将矩形纸片 $ABCD$ 沿对角线 $BD$ 折叠,使点 $A$ 落在平面上的点 $F$ 处,$DF$ 交 $BC$ 于点 $E$。
(1)求证：$\triangle DCE\cong\triangle BFE$；
(2)若 $CD = 2$,$\angle ADB = 30^{\circ}$,求 $BE$ 的长。

答案：
(1)证明:
∵AD//BC,
∴∠ADB=∠DBC. 根据折叠的性质知∠ADB=∠BDF,∠F=∠A=∠C=90°,
∴∠DBC=∠BDF,
∴BE=DE. 在△DCE和△BFE中, {∠BEF=∠DEC, ∠F=∠C, BE=DE,
∴△DCE≌△BFE(AAS).
(2)解:在Rt△BCD中,
∵CD=2,∠ADB=∠DBC=30°,
∴BC=2√3. 在Rt△ECD中,
∵CD=2,∠EDC=30°,
∴DE=2EC,
∴(2EC)²-EC²=CD²,
∴EC=2√3/3,
∴BE=BC-EC=4√3/3.