《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版四川专版》

11. 如图,在四边形ABCD中,AB= AD,CB= CD,E是CD上一点,BE交AC于F,连接DF。
(1)证明：∠BAC= ∠DAC,∠AFD= ∠CFE；
(2)若AB//CD,试证明四边形ABCD是菱形；
(3)在(2)的条件下,试确定E点的位置,使得∠EFD= ∠BCD,并说明理由。
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答案：
(1)证明:在△ABC和△ADC中,$\left\{\begin{array}{l}AB=AD,\\ BC=DC,\\ AC=AC,\end{array}\right.$
∴△ABC≌△ADC(SSS),
∴∠BAC=∠DAC.在△ABF和△ADF中,$\left\{\begin{array}{l}AB=AD,\\ ∠BAF=∠DAF,\\ AF=AF,\end{array}\right.$
∴△ABF≌△ADF(SAS),
∴∠AFB=∠AFD.
∵∠AFB=∠CFE,
∴∠AFD=∠CFE.
(2)证明:
∵AB//CD,
∴∠BAC=∠ACD.又
∵∠BAC=∠DAC,
∴∠CAD=∠ACD,
∴AD=CD.
∵AB=AD,CB=CD,
∴AB=CB=CD=AD,
∴四边形ABCD是菱形.
(3)解:当EB⊥CD,E为垂足时,∠EFD=∠BCD.理由如下:
∵四边形ABCD为菱形,
∴BC=CD,∠BCF=∠DCF.在△BCF和△DCF中,$\left\{\begin{array}{l}BC=CD,\\ ∠BCF=∠DCF,\\ CF=CF,\end{array}\right.$
∴△BCF≌△DCF(SAS),
∴∠CBF=∠CDF.
∵BE⊥CD,
∴∠BEC=∠DEF=90°,
∴∠BCD+∠CBE=∠CDF+∠EFD,
∴∠EFD=∠BCD.

如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,BE= 2DE,延长DE到点F,使得EF= BE,连接CF。
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(2)若CE= 6,∠BEF= 120°,求菱形BCFE的面积。
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答案：
(1)证明:
∵D,E分别是AB,AC的中点,
∴DE//BC且2DE=BC.又
∵BE=2DE,EF=BE,
∴EF=BC,EF//BC,
∴四边形BCFE是平行四边形.又
∵BE=EF,
∴四边形BCFE是菱形.
(2)解:
∵∠BEF=120°,
∴∠EBC=60°,
∴△EBC是等边三角形,
∴BE=BC=CE=6.如图,过点E作EG⊥BC于点G,
∴BG=$\frac{1}{2}$BC=3,
∴EG=$\sqrt{BE^2-BG^2}=3\sqrt{3}$,
∴S$_{菱形BCFE}$=BC·EG=6×$3\sqrt{3}=18\sqrt{3}$.

如图,在Rt△ABC中,∠B= 90°,点E是AC的中点,AC= 2AB,∠BAC的平分线AD交BC于点D,作AF//BC,连接DE并延长交AF于点F,连接FC。求证：四边形ADCF是菱形。
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答案： 证明:
∵AF//BC,
∴∠AFE=∠CDE.在△AFE和△CDE中,$\left\{\begin{array}{l}∠AFE=∠CDE,\\ ∠AEF=∠CED,\\ AE=CE,\end{array}\right.$
∴△AEF≌△CED(AAS),
∴AF=CD.
∵AF//CD,
∴四边形ADCF是平行四边形.
∵∠B=90°,AC=2AB,
∴∠ACB=30°,
∴∠CAB=60°.
∵AD平分∠CAB,
∴∠DAC=∠DAB=30°=∠ACD,
∴DA=DC,
∴四边形ADCF是菱形.