《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版四川专版》

1. 一元二次方程的求根公式：一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$,当 $b^{2}-4ac\geq0$ 时,它的根为 ______。

答案： $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

2. 一元二次方程根与系数的关系：
如果方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$ 有两个实数根 $x_{1},x_{2}$,那么 $x_{1}+x_{2}= $ ______,$x_{1}x_{2}= $ ______。
说明：一元二次方程根与系数的关系是由 16 世纪的法国数学家韦达发现的,所以通常把此定理称为“韦达定理”。上述定理成立的前提是 $\Delta\geq0$。

答案： $-\frac{b}{a}$，$\frac{c}{a}$

1. 设 $x_{1},x_{2}$ 是方程的两个根,不解方程,求其两根之和与两根之积：
(1) $x^{2}-3x + 2 = 0$,$x_{1}+x_{2}= $ ______,$x_{1}x_{2}= $ ______；
(2) $x^{2}-4x - 1 = 0$,$x_{1}+x_{2}= $ ______,$x_{1}x_{2}= $ ______；
(3) $3x^{2}-2x = 2$,$x_{1}+x_{2}= $ ______,$x_{1}x_{2}= $ ______；
(4) $\frac{2}{3}x^{2}+3x = 0$,$x_{1}+x_{2}= $ ______,$x_{1}x_{2}= $ ______；
(5) $3x^{2}-2\sqrt{2}x-\sqrt{3}= 0$,$x_{1}+x_{2}= $ ______,$x_{1}x_{2}= $ ______。

答案：
(1)3 2；
(2)4 -1；
(3)$\frac{2}{3}$ $-\frac{2}{3}$；
(4)$-\frac{9}{2}$ 0；
(5)$\frac{2\sqrt{2}}{3}$ $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

2. 已知方程 $x^{2}-2027x - 1 = 0$ 的两根为 $a,b$,则 $a^{2}b + ab^{2}-ab= $ ______。

答案： -2026

3. (1) 若 $-2$ 是关于 $x$ 的方程 $5x^{2}+kx - 10 = 0$ 的一个根,则它的另一个根为 ______,$k= $ ______；
(2) 若 $2+\sqrt{3}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2}-4x - c = 0$ 的一个根,则方程的另一个根为 ______,$c= $ ______。

答案：
(1)1 5；
(2)$2-\sqrt{3}$ -1

4. 已知 $x_{1},x_{2}$ 是方程 $3x^{2}-2x - 7 = 0$ 的两个根,不解方程,利用根与系数的关系,求下列各式的值：
(1) $x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}$；
(2) $(x_{1}-x_{2})^{2}$；
(3) $(x_{1}+\frac{1}{x_{2}})(x_{2}+\frac{1}{x_{1}})$；
(4) $\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}$。

答案： 解:$x_{1}+x_{2}=\frac{2}{3}$,$x_{1}x_{2}=-\frac{7}{3}$.
(1)原式=$x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})=-\frac{14}{9}$.
(2)原式=$(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=\frac{4}{9}-4× (-\frac{7}{3})=\frac{88}{9}$.
(3)原式=$x_{1}x_{2}+\frac{1}{x_{1}x_{2}}+2=-\frac{16}{21}$.
(4)原式=$\frac{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}}=-\frac{46}{21}$.

5. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-4x + m - 1 = 0$ 的实数根 $x_{1},x_{2}$ 满足 $3x_{1}x_{2}-x_{1}-x_{2}＞2$,则 $m$ 的取值范围是 ______。

答案： $3＜m\leqslant 5$

6. 已知关于 $x$ 的方程 $ax^{2}+bx + 1 = 0$ 的两根为 $x_{1}= 1,x_{2}= 2$,则方程 $a(x + 1)^{2}+b(x + 1)+1 = 0$ 的两根之和为 ______。

答案： 1