《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版四川专版》

10. 若$(x^2 + y^2 + 1)^2 - 64 = 0$,求$x^2 + y^2$的值.

答案： 7

11. 已知$x^2 - 2x + 4y^2 + 4y + 2 = 0$,求$x + y$的值.

答案： 解:配方得$(x-1)^{2}+(2y+1)^{2}=0$,可知$x-1=0$且$2y+1=0$,所以$x=1,y=-\frac {1}{2},x+y$的值为$\frac {1}{2}.$

12. 有$n$个方程：$x^2 + 2x - 8 = 0$,$x^2 + 2 × 2x - 8 × 2^2 = 0$,…$$,$x^2 + 2nx - 8n^2 = 0$. 小静同学解第一个方程$x^2 + 2x - 8 = 0$的步骤：①$x^2 + 2x = 8$；②$x^2 + 2x + 1 = 8 + 1$；③$(x + 1)^2 = 9$；④$x + 1 = \pm 3$；⑤$x = 1 \pm 3$；⑥$x_1 = 4$,$x_2 = -2$.
(1)小静的解法是从步骤______开始出现错误的；
(2)用配方法解第$n个方程x^2 + 2nx - 8n^2 = 0$(用含有$n$的式子表示方程的根).

答案：
(1)⑤；
(2)$x^{2}+2nx-8n^{2}=0,x^{2}+2nx=8n^{2},x^{2}+2nx+n^{2}=8n^{2}+n^{2},(x+n)^{2}=9n^{2},x+n=\pm 3n,x_{1}=2n,x_{2}=-4n.$

阅读理解：“$a^2 \geq 0$”这个结论在数学中非常有用,有时我们需要将代数式配成完全平方式,例如：$x^2 + 4x + 5 = x^2 + 4x + 4 + 1 = (x + 2)^2 + 1$,
$\because (x + 2)^2 \geq 0$,$(x + 2)^2 + 1 \geq 1$,
$\therefore x^2 + 4x + 5 \geq 1$.
试利用“配方法”解决下列问题：
(1)填空：因为$x^2 - 4x + 6 = (x$______$)^2 +$______,所以当$x = $____时,代数式$x^2 - 4x + 6$有最____(填“大”或“小”)值,这个最值为______；
(2)比较$x^2 - 1与2x - 3$的大小；
(3)用配方法证明：不论$m$,$n$取何实数,代数式$m^2 + n^2 + 2m - 4n + 8的值总不小于3$.

答案：
(1)-2 2 2 小 2；
(2)解:$x^{2}-1-(2x-3)=x^{2}-2x+2=(x-1)^{2}+1＞0$,则$x^{2}-1＞2x-3.$；
(3)证明:原式$=(m+1)^{2}+(n-2)^{2}+3$,因为$(m+1)^{2}≥0,(n-2)^{2}≥0$,所以原式总不小于3.

一元二次方程$x^2 - 8x = 48可表示成(x - a)^2 = 48 + b$的形式,其中$a$,$b$为整数,则$a + b$的值为( ).

A.$20$
B.$12$
C.$-12$
D.$-20$

答案： A