《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版四川专版》

10. 如图,在等腰直角三角形 ABC 中,AB = BC = 8 cm,动点 P 从点 A 出发,沿 AB 向点 B 移动,通过点 P 引平行于 BC,AC 的直线与 AC,BC 分别交于点 R,Q。问：AP 等于多少厘米时,平行四边形 PQCR 的面积等于$ 16 cm^2？$

答案： 解:设AP=x cm时,平行四边形PQCR的面积等于16 cm²,
则$\frac{1}{2}$×8×8 - $\frac{1}{2}$x² - $\frac{1}{2}$(8 - x)²=16,
化简得x² - 8x + 16=0,
解得x₁=x₂=4,
即当AP=4 cm时,平行四边形PQCR的面积为16 cm².

如图,将正方形沿图中虚线(其中 x ＜ y)剪成①②③④四块图形,用这四块图形恰能拼成一个矩形(非正方形)。
(1)画出拼成的矩形的简图；
(2)求$\frac{x}{y}$的值。

答案：

(1)如图所示.

(2)由拼图前后的面积相等得
[(x + y)+y]y=(x + y)².
因为y≠0,整理得($\frac{x}{y}$)²+$\frac{x}{y}$ - 1=0.
解得$\frac{x}{y}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$或$\frac{x}{y}$=$\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$(不合题意,舍去).
故$\frac{x}{y}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

阅读材料：各类方程的解法。
求解一元一次方程,根据等式的基本性质,把方程转化为 x = a 的形式；求解二元一次方程组,把它转化为一元一次方程来解；类似地,求解三元一次方程组,把它转化为解二元一次方程组。求解一元二次方程,把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程,把它转化为整式方程来解,因为“去分母”可能产生增根,所以解分式方程必须检验。各类方程的解法不尽相同,但是它们有一个共同的基本数学思想——转化,把未知转化为已知。
用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新的方程。例如,一元三次方程 x^3 + x^2-2x = 0,可以通过因式分解把它转化为 x(x^2 + x-2) = 0,解方程 x = 0 和 x^2 + x-2 = 0,可得方程 x^3 + x^2-2x = 0 的解。
(1)问题：方程 x^3 + x^2-2x = 0 的解是 x_1 = 0,x_2 = ______,x_3 = ______。
(2)拓展：用“转化”思想求方程$\sqrt{2x + 3}$ = x 的解。
(3)应用：如图,已知矩形草坪 ABCD 的长 AD = 8 m,宽 AB = 3 m,小华把一根长为 10 m 的绳子的一端固定在点 B,沿草坪边 BA,AD 走到点 P 处,把长绳 PB 段拉直并固定在点 P,然后沿草坪边 PD,DC 走到点 C 处,把长绳剩下的一段拉直,长绳的另一端恰好落在点 C,求 AP 的长。

答案：
(1)-2 1
(2)$\sqrt{2x + 3}$=x,
方程的两边平方,得2x + 3=x²,
即x² - 2x - 3=0,(x - 3)(x + 1)=0,
∴x - 3=0或x + 1=0,
∴x₁=3,x₂=-1,
当x=-1时,$\sqrt{2x + 3}$=$\sqrt{1}$=1≠-1,
∴-1不是原方程的解.
∴方程$\sqrt{2x + 3}$=x的解是x=3.
(3)
∵四边形ABCD为矩形,
∴∠A=∠D=90°,AB=CD=3 m.
设AP=x m,则PD=(8 - x)m.
∵BP + CP=10 m,
BP=$\sqrt{AP² + AB²}$,CP=$\sqrt{CD² + PD²}$,
∴$\sqrt{9 + x²}$+$\sqrt{(8 - x)² + 9}$=10,
∴$\sqrt{(8 - x)² + 9}$=10 - $\sqrt{9 + x²}$,
两边平方,得(8 - x)² + 9=100 - 20$\sqrt{9 + x²}$+9 + x²,整理,得5$\sqrt{x² + 9}$=4x + 9,
两边平方并整理,得x² - 8x + 16=0,
即(x - 4)²=0,
∴x=4.
经检验,x=4是方程的解.
答:AP的长为4 m.