《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版四川专版》

10. 已知三条线段的长分别为$a$,$b$,$c$,且满足$c^{2}= ab$,$a = 4$,$b = 9$,则$c= $______。

答案： 6

11. 如图,已知$AB:DB = AC:EC$,$AD = 15 cm$,$AB = 40 cm$,$AC = 28 cm$,则$AE= $______。

答案： $\frac{21}{2}\ cm$

12. 如图,矩形纸片$ABCD的长AB = a cm$,宽$BC = b cm$,$E$,$F分别为AB$,$CD$的中点,沿直线$EF$对折这张纸片后,若矩形$AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD$的长与宽之比,则$a:b$为多少？

答案： $\sqrt{2}:1$.

求比例式的值常用的方法有“设参消参法”“代入消元法”“特殊值法”。
例：已知$\frac{x}{2}= \frac{y}{5}= \frac{z}{7}$,求$\frac{x - 2y + 3z}{x - 4y + 5z}$的值。
解法一：设$\frac{x}{2}= \frac{y}{5}= \frac{z}{7}= k$,则$x = 2k$,$y = 5k$,$z = 7k$,所以$\frac{x - 2y + 3z}{x - 4y + 5z}= \frac{2k - 10k + 21k}{2k - 20k + 35k}= \frac{13k}{17k}= \frac{13}{17}$。
解法二：由$\frac{x}{2}= \frac{y}{5}= \frac{z}{7}$,得$y = \frac{5}{2}x$,$z = \frac{7}{2}x$,代入$\frac{x - 2y + 3z}{x - 4y + 5z}$,得$\frac{x - 2y + 3z}{x - 4y + 5z}= \frac{x - 5x + \frac{21}{2}x}{x - 10x + \frac{35}{2}x}= \frac{\frac{13}{2}x}{\frac{17}{2}x}= \frac{13}{17}$。
解法三：取$x = 2$,$y = 5$,$z = 7$,则$\frac{x - 2y + 3z}{x - 4y + 5z}= \frac{2 - 10 + 21}{2 - 20 + 35}= \frac{13}{17}$。
参考上面的资料解答下面的问题：
已知$a$,$b$,$c分别为\triangle ABC$的三条边的长,且$(a - c):(a + b):(c - b)= - 2:7:1$,$a + b + c = 24$。
(1)求$a$,$b$,$c$的值；
(2)判断$\triangle ABC$的形状。

答案： 解:
(1)设$\frac{a-c}{-2}=\frac{a+b}{7}=\frac{c-b}{1}=k$,根据题意得$\begin{cases} a-c=-2k, \\ a+b=7k, \\ c-b=k, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=3k, \\ b=4k, \\ c=5k. \end{cases}$$\because a+b+c=24$,$\therefore 12k=24$,解得$k=2$,$\therefore a=6,b=8,c=10$.
(2)$\because a=6,b=8,c=10$,$\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}$,$\therefore \triangle ABC$为直角三角形.

如图,在$\triangle ABC$中,$AB = 12$,点$E在AC$上,点$D在AB$上。若$AE = 6$,$EC = 4$,且$\frac{AD}{DB}= \frac{AE}{EC}$。
(1)求$AD$的长。
(2)试问$\frac{DB}{AB}= \frac{EC}{AC}$能成立吗？请说明理由。

答案： 解:
(1)$AD=\frac{36}{5}$.
(2)能成立.理由如下:因为$AB=12$,$AD=\frac{36}{5}$,所以$DB=\frac{24}{5}$,所以$\frac{DB}{AB}=\frac{2}{5}$.又$\frac{EC}{AC}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$,故$\frac{DB}{AB}=\frac{EC}{AC}$.