《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版四川专版》

10. 如图,在平面直角坐标系中,$ \triangle ABC $ 的三个顶点 $ A(4,3) $,$ B(3,1) $,$ C(5,2) $,点 $ M(2,1) $。
(1)以点 $ M $ 为位似中心,在第一象限内画出与 $ \triangle ABC $ 位似的 $ \triangle A'B'C' $,且 $ \triangle A'B'C' $ 与 $ \triangle ABC $ 的相似比是 $ 3:1 $,写出 $ A' $,$ B' $,$ C' $ 的坐标；
(2)$ \triangle ABC $ 中的一点 $ P(a,b) $,在(1)中的位似变换下对应 $ \triangle A'B'C' $ 中点 $ P' $,请直接写出点 $ P' $ 的坐标(用含 $ a $,$ b $ 的代数式表示)。

答案： 解:
(1)如图所示.A'(8,7)，B'(5,1)，C'(11,4).
(2)P'(3a-4,3b-2).

【材料】在平面内,先将一个多边形以点 $ O $ 为位似中心放大或缩小,使所得多边形与原多边形对应线段的比为 $ k $,并且原多边形上的任一点 $ P $,它的对应点 $ P' $ 在线段 $ OP $ 或其延长线上；接着将所得多边形以点 $ O $ 为旋转中心,逆时针旋转一个角度 $ \theta $,这种经过相似和旋转的图形变换叫做旋转相似变换,记为 $ O(k,\theta) $,其中点 $ O $ 叫做旋转相似中心,$ k $ 叫做相似比,$ \theta $ 叫做旋转角。
【探索】回答下列问题：
(1)填空：如图①,将 $ \triangle ABC $ 以点 $ A $ 为旋转相似中心,放大为原来的 $ 2 $ 倍,再逆时针旋转 $ 60^{\circ} $,得到 $ \triangle ADE $,这个旋转相似变换记为 $ A $(____,____)；
(2)如图②,$ \triangle ABC $ 的边长 $ AB $ 为 $ 3\ cm $,将它做旋转相似变换 $ A\left( \dfrac{4}{3},90^{\circ} \right) $,得到 $ \triangle ADE $,求线段 $ BD $ 的长。

答案：
(1)2 60°
(2)
∵△ABC 做旋转相似变换A(4/3，90°)，
∴AD=4/3×3=4(cm)，∠BAD=90°，
∴BD=√(3²+4²)=5(cm).

如图,在由边长为 $ 1 $ 个单位长度的小正方形组成的 $ 10 × 10 $ 网格中,已知点 $ O $,$ A $,$ B $ 均为网格线的交点。
(1)在给定的网格中,以点 $ O $ 为位似中心,将线段 $ AB $ 放大为原来的 $ 2 $ 倍,得到线段 $ A_1B_1 $(点 $ A $,$ B $ 的对应点分别为 $ A_1 $,$ B_1 $),画出线段 $ A_1B_1 $；
(2)将线段 $ A_1B_1 $ 绕点 $ B_1 $ 逆时针旋转 $ 90^{\circ} $ 得到线段 $ A_2B_1 $,画出线段 $ A_2B_1 $；
(3)以 $ A $,$ A_1 $,$ B_1 $,$ A_2 $ 为顶点的四边形 $ AA_2B_1A_1 $ 的面积是____个平方单位。

答案： 20