《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版四川专版》

9. 如图,$\angle B = \angle ACD = 90°$,$BC // AD$. 若 $AC = 8$,$AD = 10$,则 $AB = ($.

A.$36$
B.$40$
C.$4.8$
D.$5.6$

答案： C

10. 如图,锐角三角形 $ABC$ 的边 $AB$ 和边 $AC$ 上的高 $CE$ 和 $BF$ 相交于点 $D$,请写出图中一对相似三角形：____.

答案： △ABF∽△ACE(或△BDE∽△CDF)

11. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$AB = 2$,$BC = 1$,点 $E$ 是 $DC$ 上一点,$\angle DAE = \angle BAC$,则 $EC$ 的长为____.

答案： $\frac{3}{2}$

12. 如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90°$,$AC = 9$,$BC = 12$,$D$ 是 $AB$ 边的中点,$P$ 是 $BC$ 边上一动点(点 $P$ 不与 $B$,$C$ 重合). 若以 $D$,$C$,$P$ 为顶点的三角形与 $\triangle ABC$ 相似,则线段 $PC = $____.

答案： 6或$\frac{75}{8}$

13. 如图,$\triangle ABC$ 是等边三角形,点 $D$,$E$ 分别在 $BC$,$AC$ 上,且 $BD = CE$,$AD$ 与 $BE$ 相交于点 $F$.
(1) 求证：$\triangle ABD \cong \triangle BCE$；
(2) 求证：$\triangle ABE \backsim \triangle FAE$；
(3) 若 $AF = 7$,$DF = 1$,求 $BD$ 的长.

答案：
(1)证明:
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC,∠ABD=∠BCE.
在△ABD与△BCE中,
$\left\{\begin{array}{l} AB=BC,\\ ∠ABD=∠BCE,\\ BD=CE,\end{array}\right. $
∴△ABD≌△BCE(SAS).
(2)证明:由
(1)得∠CBE=∠BAD.
又
∵∠ABC=∠BAC,
∴∠ABE=∠EAF.
又
∵∠BEA=∠AEF,
∴△ABE∽△FAE.
(3)解:
∵∠BAD=∠CBE,∠BDA=∠FDB,
∴△ABD∽△BFD,
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{BD}{DF}$,
∴$BD^{2}=AD\cdot DF=(AF+DF)\cdot DF=8$,
∴BD=$2\sqrt{2}$.