《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版四川专版》

7. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,点 $O$ 在边 $AB$ 上,$\angle AOC = \angle BOD$. 下列说法错误的是( ).

A.$\angle AOD = \angle BOC$
B.$AO = OB$
C.$OD = OC$
D.$OD \perp OC$
]

答案： D

8. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$AB = 24\ cm$,$BC = 8\ cm$,点 $P$ 从 $A$ 开始沿折线 $A - B - C - D$ 以 $4\ cm/s$ 的速度移动,点 $Q$ 从 $C$ 开始沿 $CD$ 边以 $2\ cm/s$ 的速度移动,如果点 $P$,$Q$ 分别从 $A$,$C$ 同时出发,当其中一点到达 $D$ 时,另一点也随之停止运动,设运动时间为 $t\ s$. 当 $t = $____时,四边形 $QPBC$ 为矩形.
]

答案： 4

9. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$D$ 为边 $BC$ 上一点,以 $AB$,$BD$ 为邻边作 $□ ABDE$,连接 $AD$,$EC$.
(1)求证：$\triangle ADC \cong \triangle ECD$；
(2)若 $BD = CD$,求证：四边形 $ADCE$ 是矩形.
]

答案：
(1)证明：
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB//DE,AB=DE，
∴∠B=∠EDC.
又
∵AB=AC，
∴AC=DE,∠B=∠ACB，
∴∠EDC=∠ACB，
∴∠EDC=∠ACD.
在△ADC和△ECD中，
AC=ED，
∠ACD=∠EDC，
DC=CD(公共边)，
∴△ADC≌△ECD(SAS).
(2)证明：
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD//AE,BD=AE，
∴AE//CD.
又
∵BD=CD，
∴AE=CD，
∴四边形ADCE是平行四边形.
在△ABC中，AB=AC,BD=CD，
∴AD⊥BC(等腰三角形的三线合一性质)，
∴∠ADC=90°，
∴□ADCE是矩形.

10. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$AD$ 平分 $\angle BAC$,$CE // AD$ 且 $CE = AD$.
(1)求证：四边形 $ADCE$ 是矩形；
(2)若 $\triangle ABC$ 是边长为 $4$ 的等边三角形,$AC$,$DE$ 相交于点 $O$,在 $CE$ 上截取 $CF = CO$,连接 $OF$,求线段 $FC$ 的长及四边形 $AOFE$ 的面积.
]

答案：

(1)证明：
∵CE//AD且CE=AD，
∴四边形ADCE是平行四边形.
又
∵在△ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC(等腰三角形的三线合一性质)，
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形.
(2)解：
∵△ABC是等边三角形，边长为4，
∴AC=4,∠DAC=30°，
∴∠ACE=30°,AE=2,CE=2√3.
∵四边形ADCE为矩形，
∴OC=OA=2.
∵CF=CO,
∴CF=2.
如图，过点O作OH⊥CE于点H，
∴OH=1/2 OC=1，
∴S四边形AOFE=S△AEC - S△COF=1/2×2×2√3 - 1/2×2×1=2√3 - 1.