《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版四川专版》

10. 有一个面积是 $ 15cm^{2} $ 的长方形,当长增加 $ 1cm $,宽增加 $ 3cm $ 时,恰好变成一个正方形,设这个正方形的边长是 $ x cm $,根据题意可列方程为______,把它化为一元二次方程的一般形式是______.

答案： $(x-1)(x-3)=15$ $x^{2}-4x-12=0$

11. 关于 $ x $ 的方程$ (k + 1)x^{|k - 1|}+kx + 1 = 0 $是一元二次方程,求 $ k $ 的值.

答案： 3．

12. 若 $ a,b,c $ 分别为$ \triangle ABC $ 的三条边的长,试说明方程$ ax^{2}+bx(x - 1)= cx^{2} $一定是关于 $ x $ 的一元二次方程.

答案： 解：将原方程整理为 $(a+b-c)x^{2}-bx=0$．
∵a,b,c 分别为△ABC 的三边的长，
∴根据三角形的三边关系有 $a+b＞c$，
∴$a+b-c≠0$．
∴原方程一定是关于 x 的一元二次方程．

13. 已知关于 $ x $ 的方程$ (k^{2}-1)x^{2}+(k + 1)x - 2 = 0 $.
(1)当 $ k $ 取何值时,此方程为一元一次方程？并求出此方程的根.
(2)当 $ k $ 取何值时,此方程为一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.

答案： 解：（1）方程为一元一次方程，则应满足$\left\{\begin{array}{l} k^{2}-1=0,\\ k+1≠0,\end{array}\right.$解得 $k=1$，所以当 $k=1$ 时，此方程为一元一次方程 $2x-2=0$，解得 $x=1$．（2）方程为一元二次方程，则应满足 $k^{2}-1≠0$，解得 $k≠\pm 1$．所以当 $k≠\pm 1$ 时，此方程为一元二次方程．它的二次项系数为 $k^{2}-1$，一次项系数为 $k+1$，常数项为-2．

14. 一元二次方程$ a(x - 1)^{2}+b(x - 1)+c = 0 化为一般形式后为 2x^{2}-3x - 1 = 0 $,试求$ \frac{a + b}{c} $的值.

答案： 解：将方程 $a(x-1)^{2}+b(x-1)+c=0$ 整理得，$ax^{2}+(b-2a)x+a-b+c=0$．
∵它的一般形式是 $2x^{2}-3x-1=0$，
∴$\left\{\begin{array}{l} a=2,\\ b-2a=-3,\\ a-b+c=-1,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} a=2,\\ b=1,\\ c=-2.\end{array}\right.$
∴$\frac {a+b}{c}=\frac {2+1}{-2}=-\frac {3}{2}$．

公元前 $ 2000 $ 年左右,古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了. 他们是这样描述的：已知一个数与它的倒数之和等于一个已给数,求出这个数.
如果已给数为 $ 10 $,设这个数是 $ x $,请你列出这个方程并判断它是不是一元二次方程. 如果不是,你能把它化为一元二次方程吗？

答案： 解：$x+\frac {1}{x}=10$，它不是一元二次方程，可化为一元二次方程 $x^{2}+1=10x(x≠0)$或 $x^{2}-10x+1=0$（$x≠0$）．

1. 若方程$ (m - 1)x^{2}+\sqrt{m}x = 1 $是关于 $ x $ 的一元二次方程,则 $ m $ 的取值范围是( ).
A.$ m \neq 1 $
B.$ m \geq 0 $
C.$ m \geq 0 $ 且 $ m \neq 1 $
D.$ m $ 为任意实数

答案： @@1. C@@ 

2. 某种植基地去年蔬菜产量为 $ 80t $,预计明年蔬菜产量达到 $ 100t $,求蔬菜产量的年均增长率. 设蔬菜产量的年均增长率为 $ x $,则可列方程为( ).
A.$ 80(1 + x)^{2}= 100 $
B.$ 100(1 - x)^{2}= 80 $
C.$ 80(1 + 2x)= 100 $
D.$ 80(1 + x^{2})= 100 $

答案： 2. A