《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版四川专版》

用等腰直角三角尺探秘：
如图,$\triangle ABC$,$\triangle DEP$ 是两个全等的等腰直角三角形,$\angle BAC = \angle PDE = 90°$.
(1) 若将 $\triangle DEP$ 的顶点 $P$ 放在 $BC$ 上(如图①),$PD$,$PE$ 分别与 $AC$,$AB$ 相交于点 $F$,$G$. 求证：$\triangle PBG \backsim \triangle FCP$.
(2) 若使 $\triangle DEP$ 的顶点 $P$ 与顶点 $A$ 重合(如图②),$PD$,$PE$ 分别与 $BC$ 相交于点 $F$,$G$. 试问 $\triangle PBG$ 与 $\triangle FCP$ 还相似吗？为什么？

答案：
(1)证明:
∵△ABC,△DEP是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=∠DPE=45°,
∴∠BPG+∠CPF=135°.
在△BPG中,
∵∠B=45°,
∴∠BPG+∠BGP=135°.
∴∠BGP=∠CPF.
又
∵∠B=∠C,
∴△PBG∽△FCP.
(2)解:△PBG与△FCP相似.理由如下:
∵△ABC,△DEP是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=∠DPE=45°.
∵∠BGP=∠C+∠CPG=45°+∠CAG,
∠CPF=∠FPG+∠CAG=45°+∠CAG,
∴∠BGP=∠CPF.
又
∵∠B=∠C,
∴△PBG∽△FCP.

(1) 某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：
如图①,在 $\triangle ABC$ 中,点 $O$ 在线段 $BC$ 上,$\angle BAO = 30°$,$\angle OAC = 75°$,$AO = 3\sqrt{3}$,$BO:CO = 1:3$,求 $AB$ 的长.
经过社团成员讨论发现,过点 $B$ 作 $BD // AC$,交 $AO$ 的延长线于点 $D$,通过构造 $\triangle ABD$ 就可以解决问题(如图②).
请回答：$\angle ADB = $____,$AB = $____.
(2) 请参考以上解决思路,解决问题：
如图③,在四边形 $ABCD$ 中,对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$,$AC \perp AD$,$AO = 3\sqrt{3}$,$\angle ABC = \angle ACB = 75°$,$BO:OD = 1:3$,求 $DC$ 的长.

答案：

(1)75°　$4\sqrt{3}$
(2)如图,过点B作BE//AD交AC于点E.
∵AC⊥AD,BE//AD,
∴∠DAC=∠BEA=90°.
∵∠AOD=∠EOB,
∴△AOD∽△EOB,
∴$\frac{BO}{DO}=\frac{EO}{AO}=\frac{BE}{DA}$.
∵BO:OD=1:3,
∴$\frac{EO}{AO}=\frac{BE}{DA}=\frac{1}{3}$.
∵AO=$3\sqrt{3}$,
∴EO=$\sqrt{3}$,
∴AE=$4\sqrt{3}$.
∵∠ABC=∠ACB=75°,
∴∠BAC=30°,AB=AC,
∴AB=2BE.
在Rt△AEB中,$BE^{2}+AE^{2}=AB^{2}$,
即$BE^{2}+(4\sqrt{3})^{2}=(2BE)^{2}$,解得BE=4,
∴AB=AC=8,AD=12.
在Rt△CAD中,$AC^{2}+AD^{2}=CD^{2}$,
即$8^{2}+12^{2}=CD^{2}$,解得CD=$4\sqrt{13}$.