《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版四川专版》

10. 如图,$AC$ 为矩形 $ABCD$ 的对角线,将边 $AB$ 沿 $AE$ 折叠,使点 $B$ 落在 $AC$ 上的点 $M$ 处,将边 $CD$ 沿 $CF$ 折叠,使点 $D$ 落在 $AC$ 上的点 $N$ 处。
(1)求证：四边形 $AECF$ 是平行四边形；
(2)若 $AB = 6$,$AC = 10$,求四边形 $AECF$ 的面积。

答案：
(1)证明:根据折叠的性质,知AM=AB,CN=CD,∠FNC=∠D=90°,∠AME=∠B=90°,
∴∠ANF=90°,∠CME=90°.
∵四边形ABCD为矩形,
∴AB=CD,AD//BC,
∴AM=CN,∠FAN=∠ECM,
∴AM-MN=CN-MN, 即AN=CM. 在△ANF和△CME中, {∠FAN=∠ECM, AN=CM, ∠ANF=∠CME,
∴△ANF≌△CME(ASA),
∴AF=CE. 又
∵AF//CE,
∴四边形AECF是平行四边形.
(2)解:
∵AB=6,AC=10,
∴BC=8. 设CE=x,则EM=8-x,CM=10-6=4, 在Rt△CEM中,(8-x)²+4²=x², 解得x=5,
∴四边形AECF的面积为EC·AB=5×6=30.

如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$D$ 为 $AB$ 的中点。过点 $C$ 作 $CE// BD$,过点 $D$ 作 $DE// BC$,且 $DE$,$CE$ 交于点 $E$,连接 $AE$,试判断四边形 $ADCE$ 的形状,并证明你的结论。

答案： 解:四边形ADCE是菱形.证明如下:
∵CE//BD,DE//BC,
∴四边形DECB是平行四边形,
∴CE=DB.
∵D是AB中点,∠ACB=90°,
∴CD=1/2AB=DB=AD,
∴CE=AD,
∴四边形ADCE是平行四边形. 又
∵CE=AD,CD=DB=AD,
∴CE=CD,
∴□ADCE是菱形.

如图,在矩形 $ABCD$ 中,$E$ 是 $AD$ 的中点,延长 $CE$,$BA$ 交于点 $F$,连接 $AC$,$DF$。
(1)求证：四边形 $ACDF$ 是平行四边形；
(2)当 $CF$ 平分 $\angle BCD$ 时,写出 $BC$ 与 $CD$ 的数量关系,并说明理由。

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB//CD,
∴∠FAE=∠CDE.
∵E是AD的中点,
∴AE=DE. 又
∵∠FEA=∠CED,
∴△FAE≌△CDE,
∴CD=FA. 又
∵CD//AF,
∴四边形ACDF是平行四边形.
(2)解:BC=2CD.理由如下:
∵CF平分∠BCD,
∴∠DCE=45°.
∵∠CDE=90°,
∴△CDE是等腰直角三角形,
∴CD=DE.
∵E是AD的中点,
∴AD=2CD.
∵AD=BC,
∴BC=2CD.