《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版四川专版》

7. 设 $x_{1},x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2}-mx - 6 = 0$ 的两个根,且 $x_{1}+x_{2}= 1$,则 $x_{1}= $ ______,$x_{2}= $ ______。

答案： -2 3

8. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}+2x + a - 2 = 0$。
(1) 若该方程有两个不相等的实数根,求实数 $a$ 的取值范围；
(2) 若该方程的一个根为 $1$,求 $a$ 的值及该方程的另一个根。

答案： 解:
(1)$\because \Delta =4-4(a-2)=12-4a＞0$,$\therefore a＜3$,即实数a的取值范围是$a＜3$.
(2)a的值是-1,该方程的另一个根为-3.

9. 已知关于 $x$ 的方程为 $x^{2}+kx - 1 = 0$。
(1) 求证：方程有两个不相等的实数根；
(2) 设该方程的两根分别为 $x_{1},x_{2}$,并且 $x_{1}+x_{2}= x_{1}x_{2}$,求 $k$ 的值。

答案：
(1)证明:$\Delta =k^{2}+4＞0$,易证.
(2)解:$x_{1}+x_{2}=-k$,$x_{1}x_{2}=-1$,$k=1$.

10. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}-2x + m = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_{1},x_{2}$。
(1) 求实数 $m$ 的取值范围；
(2) 若 $x_{1}-x_{2}= 2$,求实数 $m$ 的值。

答案： 解:
(1)由题意得$\Delta =(-2)^{2}-4× 1× m=4-4m＞0$,解得$m＜1$,即实数m的取值范围为$m＜1$.
(2)由题意得$\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}=2,\\ x_{1}-x_{2}=2,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} x_{1}=2,\\ x_{2}=0,\end{array}\right. $由根与系数的关系得$m=2× 0=0$.

法国数学家韦达在数学研究方面有杰出的贡献和深远的影响,他常常在工作之余致力于数学研究。韦达被奇异的数学吸引住时,就会一连数日闭门不出,进行思考与研究。当时,他和好几位数学家都研究并发现了方程的根与系数的关系。因为韦达的论文发表得较早,影响也大,因此后人习惯上把一元 $n$ 次($n$ 为正整数)方程的根与系数的关系定理称为韦达定理。请同学们研究一个特殊的一元三次方程的根与系数的关系。
$a,b,c$ 是方程 $x^{3}+px + q = 0$ 的三个根(三次方程有三个根),那么这个方程可以写为 $(x - a)(x - b)(x - c)= 0$,然后这个方程可化为 $x^{3}-(a + b + c)x^{2}+(ab + ac + bc)x - abc = 0$,对比原来的方程,可以看出：$a + b + c= $ ______,$p= $ ______,$q= $ ______。

答案： 0，$ab+ac+bc$，$-abc$

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+(2k + 3)x + k^{2}= 0$ 有两个不相等的实数根 $x_{1},x_{2}$。
(1) 求 $k$ 的取值范围；
(2) 若 $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}= -1$,求 $k$ 的值。

答案： 解:
(1)$\because$方程有两个不相等的实数根,$\therefore \Delta =(2k+3)^{2}-4k^{2}＞0$,解得$k＞-\frac{3}{4}$.
(2)$\because x_{1},x_{2}$是方程的两实数根,$\therefore x_{1}+x_{2}=-2k-3$,$x_{1}x_{2}=k^{2}$,$\therefore \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{-2k-3}{k^{2}}=-1$,解得$k_{1}=3$,$k_{2}=-1$,经检验:$k_{1}=3$,$k_{2}=-1$都是原分式方程的根.又$\because k＞-\frac{3}{4}$,$\therefore k=3$.