《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版四川专版》

12. 在$\triangle ABC与\triangle DEF$中,已知$\frac{AB}{DE}= \frac{BC}{EF}= \frac{AC}{DF}= \frac{2}{3}$,且$\triangle DEF的周长为18cm$,则$\triangle ABC$的周长为______.

答案： 12 cm

13. 若$\frac{a}{b}= \frac{c}{d}$,且$b + d\neq0$,则$\frac{a}{b}= \frac{c}{d}= \frac{a + c}{b + d}$.
(1)请证明上述结论；
(2)若$\frac{b + c}{a}= \frac{a + c}{b}= \frac{a + b}{c}= t$,求$t^{2}-t - 2$的值.

答案：
(1)证明:设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$,
则$a=kb$,$c=kd$.
$\because b+d\neq 0$,
$\therefore \frac{a+c}{b+d}=\frac{k(b+d)}{b+d}=k$,
$\therefore \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}$.
(2)解:根据题意有以下两种情况.
①当$a+b+c\neq 0$时,
$\frac{b+c}{a}=\frac{a+c}{b}=\frac{a+b}{c}=t=\frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2$,
$\therefore t^{2}-t-2=2^{2}-2-2=0$.
②当$a+b+c=0$时,$b+c=-a$,$a+c=-b$,$a+b=-c$,
$\therefore \frac{b+c}{a}=\frac{a+c}{b}=\frac{a+b}{c}=t=-1$,
$\therefore t^{2}-t-2=(-1)^{2}-(-1)-2=0$.
综上所述,$t^{2}-t-2$的值为0.

14. 已知$a$,$b$,$c分别为\triangle ABC$的三边长,满足$\frac{a + 4}{3}= \frac{b + 3}{2}= \frac{c + 8}{4}$,且$a + b + c = 12$.
(1)求$a$,$b$,$c$的值；
(2)判断$\triangle ABC$的形状.

答案： 解:
(1)$a$,$b$,$c$的值分别为5,3,4.
(2)$\triangle ABC$是直角三角形.

阅读下列解题过程,然后解题.
题目：已知$\frac{x}{a - b}= \frac{y}{b - c}= \frac{z}{c - a}$($a$,$b$,$c$互不相等),求$x + y + z$的值.
解：设$\frac{x}{a - b}= \frac{y}{b - c}= \frac{z}{c - a}= k$,则$x = k(a - b)$,$y = k(b - c)$,$z = k(c - a)$,
$\therefore x + y + z = k(a - b + b - c + c - a)= k\cdot0 = 0$,$\therefore x + y + z = 0$.
依照上述方法解答下面的问题：
$a$,$b$,$c$为非零实数,且$a + b + c\neq0$,当$\frac{a + b - c}{c}= \frac{a - b + c}{b}= \frac{-a + b + c}{a}$时,求$\frac{(a + b)(b + c)(c + a)}{abc}$的值.

答案： 解:设$\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}=k$,
则$a+b-c=kc$①,
$a-b+c=kb$②,
$-a+b+c=ka$③,
由①+②+③得$a+b+c=k(a+b+c)$.
$\because a+b+c\neq 0$,
$\therefore k=1$,
$\therefore a+b=2c$,$b+c=2a$,$c+a=2b$,
$\therefore \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\frac{2c\cdot 2a\cdot 2b}{abc}=8$.

1. 若$\frac{c}{4}= \frac{b}{5}= \frac{a}{6}\neq0$,则$\frac{b + c}{a}$的值为________.

答案： @@1.$\frac{3}{2}$@@ 

2. 已知$\frac{a}{6}= \frac{b}{5}= \frac{c}{4}$,且$a + b - 2c = 6$,则$a$的值为________.

答案： 2.12