《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版四川专版》

8. 如图,在平面直角坐标系中,有两个点$A(4,0)$,$B(0,2)$。如果点$C在x$轴上(点$C与点A$不重合),当点$C$坐标为____时,使得由$B$,$O$,$C三点组成的三角形和\triangle AOB$相似。

答案： (-4,0)或(-1,0)或(1,0)

(1)尝试：如图①,已知$A$,$E$,$B$三点在同一直线上,且$\angle A= \angle B= \angle DEC = 90^{\circ}$。求证：$AE\cdot BE = AD\cdot BC$。
(2)一位同学在尝试了(1)后还发现：如图②、图③,只要$A$,$E$,$B$三点在同一直线上,且$\angle A= \angle B= \angle DEC$,则(1)中结论总成立。你同意吗？请选择其中之一说明理由。
(3)运用：如图④,四边形$ABCD$是等腰梯形,$AD// BC$,$AB = 4$,$BC = 9$,$P为BC$边上一动点(不与点$B$,$C$重合),连接$AP$,过点$P作PE交CD于点E$,使得$\angle APE= \angle ABC$,则当$BP= $____时,点$E为CD$的中点。

答案：
(1)证明:
∵∠A=∠B=∠DEC=90°,
∴∠DEA+∠CEB=90°.
∵∠DEA+∠D=90°,
∴∠D=∠CEB,
∴△ADE∽△BEC,
∴$\frac{AE}{BC}=\frac{AD}{BE}$,
∴AE·BE=AD·BC.
(2)解:同意.选图②.理由如下:
∵∠A=∠B=∠DEC,∠A+∠D=∠DEC+∠CEB,
∴∠D=∠CEB,
∴△ADE∽△BEC,
∴$\frac{AE}{BC}=\frac{AD}{BE}$,
∴AE·BE=AD·BC.
(3)1或8

已知$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,点$D$,$E分别在BC$,$AC$边上,连接$BE$,$AD交于点P$,设$AC = kBD$,$CD = kAE$,$k$为常数,试探究$\angle APE$的度数。
(1)如图①,若$k = 1$,则$\angle APE$的度数为____。
(2)如图②,若$k= \sqrt{3}$,试问(1)中的结论是否成立？若成立,请说明理由；若不成立,求出$\angle APE$的度数。
(3)如图③,若$k= \sqrt{3}$,且$D$,$E分别在CB$,$CA$的延长线上,(2)中的结论是否成立？请说明理由。

答案：
(1)45°
(2)
(1)中结论不成立.理由如下:如图②,过点A作AF//CB,过点B作BF//AD相交于F,连接EF,
∴∠FBE=∠APE,∠FAC=∠C=90°,四边形AFBD是平行四边形,
∴BD=AF,BF=AD.
∵AC=$\sqrt{3}$BD,CD=$\sqrt{3}$AE,
∴$\frac{AC}{BD}=\frac{CD}{AE}=\sqrt{3}$.
∵BD=AF,
∴$\frac{AC}{AF}=\frac{CD}{AE}=\sqrt{3}$.
∵∠FAC=∠C=90°,
∴△FAE∽△ACD,
∴$\frac{AC}{AF}=\frac{AD}{EF}=\frac{BF}{EF}=\sqrt{3}$,∠FEA=∠ADC.
∵∠ADC+∠CAD=90°,
∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EMD.
∵AD//BF,
∴∠EFB=90°.在Rt△EFB中,$\frac{EF}{BF}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,由勾股定理可得BE=2EF,
∴∠FBE=30°,
∴∠APE=30°.
(3)
(2)中结论成立.理由如下:如图③,作EH//CD,DH//BE,EH,DH相交于H,连接AH,
∴∠APE=∠ADH,∠HEC=∠C=90°,四边形EHDB是平行四边形,
∴BE=DH,EH=BD.
∵AC=$\sqrt{3}$BD,CD=$\sqrt{3}$AE,
∴$\frac{AC}{BD}=\frac{CD}{AE}=\sqrt{3}$,
∴$\frac{AC}{EH}=\frac{CD}{AE}=\sqrt{3}$.又
∵∠HEA=∠C=90°,
∴△ACD∽△HEA,
∴$\frac{AD}{AH}=\frac{AC}{EH}=\sqrt{3}$,∠ADC=∠HAE.
∵∠CAD+∠ADC=90°,
∴∠HAE+∠CAD=90°,
∴∠HAD=90°.在Rt△DAH中,$\frac{AH}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,由勾股定理可得DH=2AH,
∴∠ADH=30°,
∴∠APE=30°.