《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版四川专版》

《海岛算经》是一部由中国学者编撰的最早的关于测量的数学著作,为地图学提供了数学基础. 其中记载的一个问题的大意：在如下示意图中,要测量海岛上一座山峰A的高度AH,立两根高3丈的标杆BC和DE,两标杆之间的距离BD= 1000步,点D,B,H成一条直线；从B处退行123步到点F处,人的眼睛贴着地面观察点A,点A,C,F也成一条直线；从D处退行127步到点G处,人的眼睛贴着地面观察点A,点A,E,G也成一条直线,求AH有多少丈,HB有多少步. (1步= 6尺,1丈= 10尺,1m= 3尺)

答案： 解:由题意得 AH⊥HG,CB⊥HG,
∴∠AHF=90°,∠CBF=90°,
∴∠AHF=∠CBF.
∵∠AFH=∠CFB,
∴△CBF∽△AHF,
∴$\frac{BC}{HA}=\frac{BF}{HF}$,同理可得$\frac{DE}{HA}=\frac{DG}{HG}$.
∵BF=123,BD=1000,DG=127,
∴HF=HB+123,HG=HB+1000+127=HB+1127,
∴$\frac{3}{HA}=\frac{123}{HB+123}$,$\frac{3}{HA}=\frac{127}{HB+1127}$,
解得 HB=30750,HA=753,
答:AH 为 753 丈,HB 为 30750 步.

周末,小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽. 测量时,他们选择了河对岸岸边的一棵大树,将其底部作为点A,在他们所在的岸边选择了点B,使得AB与河岸垂直,并在B点竖起标杆BC,再在AB的延长线上选择点D,竖起标杆DE,使得点E与点C,A共线.
已知：CB⊥AD,ED⊥AD,测得BC= 1m,DE= 1.5m,BD= 8.5m. 测量示意图如图所示,请根据相关测量信息,求河宽AB.

答案： 解:
∵BC//DE,
∴△ABC∽△ADE,
∴$\frac{BC}{DE}=\frac{AB}{AD}$,
∴$\frac{1}{1.5}=\frac{AB}{AB+8.5}$,解得 AB=17,
经检验,AB=17 是分式方程的解,
答:河宽 AB 的长为 17 m.