《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版四川专版》

10. 如图①,在正方形$ABCD$中,点$E在边CD$上,点$O在对角线AC$上,$OF\perp OE交BC于F$。
(1)求证：$OE = OF$。
(2)如图②,过点$O作OG\perp AC交AB的延长线于G$,连接$FG$,$AE$,取$FG的中点M$,连接$OM$,延长$MO交AE于N$。猜想$OM与AE$的数量关系和位置关系,并说明理由。
(3)在(2)的条件下,若$AB = 18$,$DE = 12$,$AO = 13\sqrt{2}$,求线段$MN$的长。

答案：
(1)证明:如图①,作$OH\perp AC$交DC于H.易证得$\triangle OEH\cong \triangle OFC(ASA)$,$\therefore OE=OF$.
(2)解:$MO=\frac{1}{2}AE$,$MO\perp AE$.理由如下:
如图②,延长OM至P,使$PM=OM$,连接PF.
可证$PF=GO=AO$,
$\angle PFO=180° -\angle GOF=\angle AOE$.
又$OF=OE$,
$\therefore \triangle POF\cong \triangle AEO(SAS)$,
$\therefore PO=AE$,$\angle P=\angle OAN$,
$\therefore MO=\frac{1}{2}AE$,
$\angle OAN+\angle AON=\angle P+\angle AON=\angle POG+\angle AON=90°$,
$\therefore MO\perp AE$.
(3)解:如图②,作$EK\perp AC$于K,
由$AD=AB=18$,$DE=12$,
得$AE=6\sqrt{13}$,
则$MO=3\sqrt{13}$,$AC=18\sqrt{2}$,$EC=6$,
$EK=KC=3\sqrt{2}$,$AK=15\sqrt{2}$,
由$\triangle AON\sim \triangle AEK$,$AO=13\sqrt{2}$,
得$ON=\sqrt{13}$,则$MN=4\sqrt{13}$

11. 如图,$\triangle ABC和\triangle CEF$均为等腰直角三角形,点$E在\triangle ABC$内,$\angle CAE+\angle CBE = 90^{\circ}$,连接$BF$。
(1)求证：$\triangle CAE\sim\triangle CBF$；
(2)若$BE = 1$,$AE = 2$,求$CE$的长。

答案：
(1)证明:$\because \triangle ABC$和$\triangle CEF$均为等腰直角三角形,$\therefore \frac{AC}{BC}=\frac{CE}{CF}=\sqrt{2}$,
$\therefore \angle ACB=\angle ECF=45°$,$\therefore \angle ACE=\angle BCF$,
$\therefore \triangle CAE\sim \triangle CBF$.
(2)解:$\because \triangle CAE\sim \triangle CBF$,
$\therefore \angle CAE=\angle CBF$,$\frac{AE}{BF}=\frac{AC}{BC}=\sqrt{2}$.
又$\because AE=2$,$\therefore \frac{2}{BF}=\sqrt{2}$,$\therefore BF=\sqrt{2}$.
又$\because \angle CAE+\angle CBE=90°$,
$\therefore \angle CBF+\angle CBE=90°$,$\therefore \angle EBF=90°$,
$\therefore EF^2=BE^2+BF^2=1^2+(\sqrt{2})^2=3$.
$\because CE^2=2EF^2=6$,$\therefore CE=\sqrt{6}$.

12. 如图,已知$AC// BD$,$AB和CD相交于点E$,$AC = 6$,$BD = 4$,$F是BC$上一点,$S_{\triangle BEF}:S_{\triangle EFC}= 2:3$。
(1)求$EF$的长；
(2)如果$\triangle BEF的面积为4$,求$\triangle ABC$的面积。

答案：
(1)解:$\because AC// BD$,$\therefore \frac{CE}{DE}=\frac{AC}{DB}$.
$\because AC=6$,$BD=4$,$\therefore \frac{CE}{DE}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$.
$\because \triangle BEF$和$\triangle CEF$同高,且$S_{\triangle BEF}:S_{\triangle CEF}=2:3$,
$\therefore \frac{CF}{BF}=\frac{3}{2}$,$\therefore \frac{CE}{DE}=\frac{CF}{BF}$,$\therefore EF// BD$,$\therefore \frac{EF}{BD}=\frac{CF}{BC}$,
$\therefore \frac{EF}{4}=\frac{3}{5}$,$\therefore EF=\frac{12}{5}$.
(2)解:$\because AC// BD$,$EF// BD$,$\therefore EF// AC$,
$\therefore \triangle BEF\sim \triangle BAC$,$\therefore \frac{S_{\triangle BEF}}{S_{\triangle BAC}}=\left(\frac{BF}{BC}\right)^2$.
$\because \frac{BF}{CF}=\frac{2}{3}$,$\therefore \frac{BF}{BC}=\frac{2}{5}$.
$\because S_{\triangle BEF}=4$,$\therefore \frac{4}{S_{\triangle ABC}}=\left(\frac{2}{5}\right)^2$,$\therefore S_{\triangle ABC}=25$.