《2025年名校课堂七年级数学上册湘教版广西专版》

【例】(2023·贵港港南区期末)有理数$a,b,c$在数轴上的对应点的位置如图所示.
(1)用“$＞$”或“$＜$”填空：$b - c$＜$0$,$a + b$＜$0$,$c - a$＞$0$；
(2)化简：$|b - c| + |a + b| - |c - a|$.$-2b$

答案： 1. 首先分析$b - c$，$a + b$，$c - a$的正负性：
由数轴可知$a\lt0\lt b\lt c$，且$\vert a\vert\gt b$。
对于$b - c$：
因为$b\lt c$，根据减法法则，两个数相减，被减数小于减数时，差为负，所以$b - c\lt0$。
对于$a + b$：
因为$a\lt0$，$b\gt0$，且$\vert a\vert\gt b$，根据异号两数相加，取绝对值较大的符号，所以$a + b\lt0$。
对于$c - a$：
因为$c\gt0$，$a\lt0$，$c - a=c+( - a)$，$-a\gt0$，根据同号两数相加，取相同的符号，所以$c - a\gt0$。
2. 然后化简$\vert b - c\vert+\vert a + b\vert-\vert c - a\vert$：
根据绝对值的性质：当$x\lt0$时，$\vert x\vert=-x$；当$x\gt0$时，$\vert x\vert=x$。
因为$b - c\lt0$，所以$\vert b - c\vert=-(b - c)=c - b$；
因为$a + b\lt0$，所以$\vert a + b\vert=-(a + b)=-a - b$；
因为$c - a\gt0$，所以$\vert c - a\vert=c - a$。
则$\vert b - c\vert+\vert a + b\vert-\vert c - a\vert=(c - b)+(-a - b)-(c - a)$。
去括号：
根据去括号法则$+(m + n)=m + n$，$-(m + n)=-m - n$，可得$(c - b)+(-a - b)-(c - a)=c - b - a - b - c + a$。
合并同类项：
对于$c$与$-c$，$-a$与$a$，$-b$与$-b$，根据合并同类项法则$mx+nx=(m + n)x$（$m$，$n$为系数，$x$为字母），$c - c+( - a + a)+(-b - b)=0 + 0-2b=-2b$。
故答案为：
(1)$\lt$，$\lt$，$\gt$；
(2)$-2b$。

1. (2024·南宁三中期中)有理数$a,b$在数轴上的对应点的位置如图所示,则式子$|a| + |b| - |a - b|$的化简结果为(A)


A.$0$
B.$2a$
C.$b - a$
D.$2b - 2a$

答案： A

2. (2023·南宁四十七中月考)已知数$a,b,c$在数轴上的对应点的位置如图所示,则化简$|a + b + c| - |c - b - a| = $-2c.

答案： -2c

3. 已知$a,b,c$在数轴上的对应点的位置如图所示,则化简$|b - a| + |2a + c| - |c - b|$的结果是3a.

答案： 3a

4. 已知$a ＞ b ＞ 0$.
(1)在数轴上画出$a,b,-a,-b$的对应点的大致位置；
(2)化简：$|-a| - 2|a - b| + |a + b|$.

答案： 1. （1）
因为$a\gt b\gt0$，所以$-a\lt -b\lt0$。
在数轴上，$a$在$0$的右边，$b$在$0$和$a$之间，$-b$在$0$的左边且在$-a$的右边，$-a$在$0$的左边且距离$0$比$-b$远。
2. （2）
解：
已知$a\gt b\gt0$，则$-a\lt0$，$a - b\gt0$，$a + b\gt0$。
根据绝对值的性质：当$x\lt0$时，$\vert x\vert=-x$；当$x\geq0$时，$\vert x\vert = x$。
对于$\vert - a\vert-2\vert a - b\vert+\vert a + b\vert$，因为$-a\lt0$，所以$\vert - a\vert=a$；因为$a - b\gt0$，所以$\vert a - b\vert=a - b$；因为$a + b\gt0$，所以$\vert a + b\vert=a + b$。
则$\vert - a\vert-2\vert a - b\vert+\vert a + b\vert=a-2(a - b)+(a + b)$。
去括号得：$a-2a + 2b+a + b$。
合并同类项：$(a-2a + a)+(2b + b)=3b$。
综上，（2）的化简结果为$3b$。

微专题4 整体思想
【例】(2024·贵港期末)【阅读材料】
在湘教版七年级数学上册P126页“多知道一点——整体思想的应用”的描述中,我们知道整体思想就是在研究和解决有关数学问题时,发现问题的整体结构特征,用“整体”的眼光,把某些式子或图形看成一个整体,进行有目的、有意识的整体处理的解题思路.
例如：已知$a^2 + 2a = 1$,求代数式$3a^2 + 6a + 2$的值.
明明同学在做作业时采用整体代入的方法如下：
解：由$a^2 + 2a = 1$,得$3a^2 + 6a + 2 = 3(a^2 + 2a) + 2 = 3×1 + 2 = 5$,
所以代数式$3a^2 + 6a + 2的值为5$.
【学以致用】
(1)若$x^2 - 2x = 3$,求代数式$4x^2 - 8x - 1$的值；
(2)已知当$x = 1$时,$mx^2 + nx + 1 = 2024$,求当$x = -1$时,代数式$-mx^2 + nx + 1$的值；
【拓展延伸】
(3)若$x^2 - 2xy + y^2 = 18$,$xy - y^2 = 5$,求代数式$x^2 - 3xy + 2y^2$的值.
【方法指导】在代数式求值中,当单个字母的值不易求出或化简后的结果与已知值的式子相关联时,需要将已知式子的值整体代入计算.

答案： $(1)$求代数式$4x^2 - 8x - 1$的值
解：已知$x^2 - 2x = 3$，
对$4x^2 - 8x - 1$变形可得$4(x^2 - 2x)-1$，
将$x^2 - 2x = 3$整体代入上式得：$4×3 - 1$＜|FunctionExecute|＞{"name":"GodelPlugin","parameters":{"input":"4*3-1"}}＜|FunctionExecuteEnd|＞＜|FunctionExecuteResult|＞11＜|FunctionExecuteResultEnd|＞$ = 11$。
$(2)$求当$x = - 1$时，代数式$-mx^2 + nx + 1$的值
解：当$x = 1$时，$mx^2 + nx + 1 = m + n + 1 = 2024$，
所以$m + n=2024 - 1 = 2023$。
当$x = - 1$时，$-mx^2 + nx + 1=-m - n + 1=-(m + n)+1$，
把$m + n = 2023$整体代入得：$-2023 + 1=-2022$。
$(3)$求代数式$x^2 - 3xy + 2y^2$的值
解：已知$x^2 - 2xy + y^2 = 18$，$xy - y^2 = 5$，
对$x^2 - 3xy + 2y^2$变形可得$(x^2 - 2xy + y^2)-(xy - y^2)$，
将$x^2 - 2xy + y^2 = 18$，$xy - y^2 = 5$整体代入上式得：$18 - 5 = 13$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{11}$；$(2)$$\boldsymbol{-2022}$；$(3)$$\boldsymbol{13}$。

1. (2024·广安)若$x^2 - 2x - 3 = 0$,则$2x^2 - 4x + 1 = $7.

答案： 7

2. 已知$m + n = -2$,$mn = -4$,则$2(mn - 3m) - 3(2n - mn)$的值为-8.

答案： -8

3. (2024·贵港桂平市期中)若$a^2 + 2ab = -2$,$ab - b^2 = -4$,则$2a^2 + 5ab - b^2$的值为-8.

答案： -8