《2025年名校课堂七年级数学上册湘教版广西专版》

【例 2】 石家庄外国语校本经典题 如图,C,D 为线段 AB 上的两点,M,N 分别是线段 AC,BD 的中点.
(1)如果$CD = 5cm,MN = 8cm$,求 AB 的长;
(2)如果$AB = a,MN = b$,求 CD 的长.

答案： [例2]　解:
(1)因为M,N分别是线段AC,BD的中点，所以MC=$\frac{1}{2}$AC,DN=$\frac{1}{2}$BD.因为MC+CD+DN=MN=8cm,CD=5cm,所以MC+DN=8−5=3(cm).所以AC+BD=2MC+2DN=2×3=6(cm).所以AB=AC+BD+CD=6+5=11(cm).
(2)因为M,N分别是线段AC,BD的中点，所以CM=AM=$\frac{1}{2}$AC,BN=DN=$\frac{1}{2}$BD.因为AM+BN=MC+DN=AB−MN,所以MC+DN=a−b.所以CD=MN−(MC +DN)=b−(a−b)=2b−a.

4. 如图,C,B 都是线段 AD 上的点,E 是 AB 的中点.
(1)若$AD = 30cm,BD = 6cm$.
①如图 1,求线段 AE 的长;
②如图 2,若$AC = \frac{1}{3}AD$,F 是线段 CD 的中点,求线段 EF 的长;
(2)如图 2,若$AC = \frac{1}{3}AD = a,BD = b$,F 是线段 CD 的中点,用含 a,b 的代数式表示线段 EF 的长.

答案： 4.解:
(1)①因为AD=30cm,BD=6cm，所以AB=AD−BD=24cm.因为E是AB的中点,所以AE=$\frac{1}{2}$AB=12cm.②因为AD=30cm,AC =$\frac{1}{3}$AD=10cm,所以CD=AD−AC=20cm.所以CE=AE−AC=12 −10=2(cm).因为F是CD的中点,所以CF=$\frac{1}{2}$CD=10cm.所以EF=CF−CE=10−2=8(cm).
(2)解法一:因为AC=$\frac{1}{3}$AD=a,所以AD=3a.所以CD=AD−AC=2a.因为F是CD的中点,所以CF=$\frac{1}{2}$CD=a.因为AD=3a，BD=b,所以AB=AD−BD=3a−b.因为E是AB的中点，所以AE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3a−b}{2}$.所以CE=AE−AC=$\frac{3a−b}{2}$−a=$\frac{a−b}{2}$.所以EF=CF−CE=a−$\frac{a−b}{2}$=$\frac{a+b}{2}$.解法二:EF=CF−CE=$\frac{1}{2}$CD−(AE−AC)=$\frac{1}{2}$CD−($\frac{1}{2}$AB−AC)=$\frac{1}{2}$CD−$\frac{1}{2}$AB+AC=$\frac{1}{2}$(BC+BD)−$\frac{1}{2}$(AC+BC)+AC=$\frac{1}{2}$BC+$\frac{1}{2}$BD−$\frac{1}{2}$AC−$\frac{1}{2}$BC+AC=$\frac{1}{2}$BD+$\frac{1}{2}$AC=$\frac{a+b}{2}$.