《2025年名校课堂七年级数学上册湘教版广西专版》

14. (2024·南宁一中期中)在代数式$x^{2} + 5$,$-1$,$-3x + 2$,$\pi$,$\frac{5}{x}$,$x^{2} + \frac{1}{x + 1}$,$\frac{3x}{7}$中,整式有(C)
A.1个
B.3个
C.5个
D.6个

答案： C

15. 把下列式子分别填在相应的大括号内：$-x$,$a^{2} - \frac{1}{3}$,$\frac{2n - 3p}{m}$,$\frac{a - b}{3}$,$-7$,$\pi$,$\frac{m^{2}n^{2}}{5}$。
单项式：…$\{ $$-x, -7, \pi, \frac{m^{2}n^{2}}{5}$$\}$；
多项式：…$\{ $$a^{2} - \frac{1}{3}, \frac{a - b}{3}$$\}$；
整式：…$\{ $$-x, a^{2} - \frac{1}{3}, \frac{a - b}{3}, -7, \pi, \frac{m^{2}n^{2}}{5}$$\}$。

答案： 单项式：$\{-x, -7, \pi, \frac{m^{2}n^{2}}{5}\}$；多项式：$\{a^{2} - \frac{1}{3}, \frac{a - b}{3}\}$；整式：$\{-x, a^{2} - \frac{1}{3}, \frac{a - b}{3}, -7, \pi, \frac{m^{2}n^{2}}{5}\}$

16. 多项式$-5m^{2}n^{2} + m^{3} - 2^{3}n^{2} - 5^{2}$是四次多项式,其中最高次项是$-5m^{2}n^{2}$,二次项系数为$-8$,常数项为$-25$。

答案： 四；$-5m^{2}n^{2}$；$-8$；$-25$

17. (2024·贵港平南县期末)下列说法中,正确的是(D)
A.$-\frac{a^{2}b}{4}$不是整式
B.多项式$a - 1$的常数项是1
C.$-\frac{2}{3}xy^{3}的系数是-\frac{2}{3}$,次数是3
D.多项式$x^{2}y - 3y^{2} - 2$有三项,且次数是3

答案： D

18. 如果一个多项式是四次多项式,那么它任何一项的次数(D)
A.都小于4
B.都等于4
C.都不小于4
D.都不大于4

答案： D

19. 已知多项式$(a + 3)x^{3} - x^{b} + x + a是关于x$的二次多项式,则$a^{b} - ab = $15。

答案： 1. 首先，根据二次多项式的定义：
对于多项式$(a + 3)x^{3}-x^{b}+x + a$，因为它是关于$x$的二次多项式，所以$x$的最高次数为$2$。
那么$x^{3}$的系数应该为$0$，即$a + 3=0$，解得$a=-3$。
同时，$x$的最高次项$-x^{b}$的次数$b = 2$。
2. 然后，将$a=-3$，$b = 2$代入$a^{b}-ab$：
根据代入求值公式$a^{b}-ab$，把$a=-3$，$b = 2$代入可得：
先计算$a^{b}=(-3)^{2}$，根据乘方的定义$(-3)^{2}=(-3)×(-3)=9$；
再计算$ab=(-3)×2=-6$。
则$a^{b}-ab=(-3)^{2}-(-3)×2$。
根据有理数的混合运算顺序，先算乘方，再算乘法，最后算减法（这里是$9-(-6)$）。
根据有理数减法法则$a - b=a+( - b)$，$9-(-6)=9 + 6$。
所以$a^{b}-ab=15$。
故答案为：$15$。

20. 多项式$A$：$4xy^{2} - 5x^{3}y^{4} + (m - 5)x^{5}y^{3} - 2与多项式B$：$-2x^{n}y^{4} + 6xy - 3x - 7$的次数相同,且最高次项的系数也相同,则$5m - 2n = $7。

答案： 1. 首先明确多项式次数的定义：
对于多项式$A = 4xy^{2}-5x^{3}y^{4}+(m - 5)x^{5}y^{3}-2$，根据多项式次数的定义（多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数），$4xy^{2}$的次数为$1 + 2=3$；$-5x^{3}y^{4}$的次数为$3 + 4 = 7$；$(m - 5)x^{5}y^{3}$的次数为$5+3 = 8$。
对于多项式$B=-2x^{n}y^{4}+6xy - 3x - 7$，$-2x^{n}y^{4}$的次数为$n + 4$，$6xy$的次数为$1+1 = 2$。
2. 然后根据条件列方程：
因为多项式$A$与多项式$B$的次数相同，且最高次项的系数也相同。
多项式$A$的次数是$8$，所以多项式$B$的次数$n + 4=8$，解得$n=4$。
多项式$A$最高次项$(m - 5)x^{5}y^{3}$的系数$m - 5$与多项式$B$最高次项$-2x^{n}y^{4}$（此时$n = 4$）的系数$-2$相同，即$m-5=-2$。
解方程$m - 5=-2$，根据等式的性质，在等式两边同时加$5$，得$m=-2 + 5=3$。
3. 最后计算$5m-2n$的值：
把$m = 3$，$n = 4$代入$5m-2n$，根据代入法求值。
$5m-2n=5×3-2×4$。
先算乘法：$5×3 = 15$，$2×4 = 8$。
再算减法：$15-8 = 7$。
故$5m-2n = 7$。

21. 已知$x^{a + 1}y^{2} - x^{3} + x^{2}y - 1是关于x$,$y$的五次多项式,单项式$-8x^{2}y^{3}z的次数为b$,$c$是最小的正整数,求$(a - b)^{c + 1}$的值。

答案： 解：
1. 首先求$a$的值：
因为$x^{a + 1}y^{2}-x^{3}+x^{2}y - 1$是关于$x$，$y$的五次多项式，多项式的次数是指多项式中次数最高的项的次数。
对于项$x^{a + 1}y^{2}$，其次数为$(a + 1)+2$，由$(a + 1)+2=5$，即$a+3 = 5$，解得$a = 2$。
2. 然后求$b$的值：
对于单项式$-8x^{2}y^{3}z$，其次数$b$为所有字母的指数和，即$b=2 + 3+1=6$。
3. 接着求$c$的值：
因为$c$是最小的正整数，所以$c = 1$。
4. 最后求$(a - b)^{c + 1}$的值：
把$a = 2$，$b = 6$，$c = 1$代入$(a - b)^{c + 1}$，得$(2 - 6)^{1 + 1}$。
先计算括号内$2−6=-4$，再计算指数$1 + 1=2$，则$(2 - 6)^{1 + 1}=(-4)^{2}$。
根据乘方运算$(-4)^{2}=(-4)×(-4)=16$。
所以$(a - b)^{c + 1}$的值为$16$。

22. 新考向 推理能力 【探究与应用】
将字母C,H按照如图所示的规律摆放,其中第1个图形中有1个C,4个H；第2个图形中有2个C,6个H；第3个图形中有3个C,8个H……根据此规律解答下面的问题：

(1)第4个图形中有4个C,10个H；
(2)第$n$个图形中有$n$个C,$2n + 2$个H；(用含$n$的式子表示)
(3)求第2025个图形中C和H的个数。
当$n = 2025$时，$n = 2025$，$2n + 2 = 2×2025 + 2 = 4052$。所以第2025个图形中有2025个C，4052个H。

答案： 解:
(1)4；10
(2)$n$；$(2n + 2)$
(3)当$n = 2025$时,$n = 2025$,$2n + 2 = 4052$.所以第2025个图形中有2025个C,4052个H.