《2025年名校课堂七年级数学上册湘教版广西专版》

1. (2024·河池天峨县期末)如图,点 B 在线段AD 上,C 是线段 AD 的中点,$AD = 10$.
(1)延长线段 AD 到点 E,使$DE = BD$(依据题意,补全图形);
(2)在(1)的条件下,若$BC = 4AB$,求线段 AE 的长.

答案： 1. 首先，因为$C$是线段$AD$的中点，$AD = 10$：
根据中点的定义，$AC=CD=\frac{1}{2}AD$，所以$AC = CD=\frac{1}{2}×10 = 5$。
2. 然后，设$AB=x$：
已知$BC = 4AB$，则$BC = 4x$。
因为$AC=AB + BC$，所以$x + 4x=5$。
合并同类项得$5x = 5$，解得$x = 1$。
那么$BD=AD - AB=10 - 1 = 9$。
3. 最后，求$AE$的长：
因为$DE = BD$，$AE=AD + DE$。
又因为$AD = 10$，$DE = BD = 9$，所以$AE=AD + BD=10 + 9=19$。
综上，线段$AE$的长为$19$。

【例 1】如图,点 C 在线段 AB 上,M,N 分别是 AC,BC 的中点.

(1)若$AC = 9cm,CB = 6cm$,则线段 MN 的长为______cm;
(2)若$AC = a,CB = b$,则线段 MN 的长为______;
(3)若 C 为线段 AB 上的任意一点,且$AB = n$,其他条件不变,你能猜想 MN 的长度吗? 请用一句简洁的话描述你发现的结论.
【拓展提问】若将题干中的“点 C 在线段AB 上”改为“点 C 在线段 AB 的延长线上”,其他条件不变,则(3)中的结论还成立吗? 请画出图形,写出结论,并说明理由.

答案：
[例1]　解:
(1)$\frac{15}{2}$　
(2)$\frac{a+b}{2}$　
(3)猜想:MN=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$n.结论:若C为线段AB上的任意一点，且M，N分别是AC，BC的中点，则MN=$\frac{1}{2}$AB.
[拓展提问]　解:MN=$\frac{1}{2}$n成立.理由如下:如图，当点C在线段AB的延长线上时，
　　　　　　
因为M,N分别是AC,BC的中点，所以MC=$\frac{1}{2}$AC,NC=$\frac{1}{2}$BC.又因为MN=MC−NC,所以MN=$\frac{1}{2}$(AC−BC)=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$n.

2. 兰生复旦校本经典题 已知线段$AB = 4$,延长 AB 至点 C,使$AC = 11$. 若 D 是 AB 的中点,E 是 AC 的中点,求 DE 的长.

答案： 2.解:如图，因为AB=4,D是AB的中点，所以AD=$\frac{1}{2}$AB=2.又因为AC=11,E是AC的中点,所以AE=$\frac{1}{2}$AC=5.5.所以DE=AE−AD=5.5−2=3.5.

3. (1)如图,已知点 C 在线段 AB 上,$AB = 20cm,BC = 8cm$,M,N 分别是 AB,BC 的中点,求线段 MN 的长.

解:因为$AB = 20cm$,M 是AB的中点,所以$BM = $$\frac{1}{2}$$AB = 10cm$.
因为$BC = 8cm$,N 是 BC 的中点,所以$BN = $$\frac{1}{2}$$BC = 4cm$.
所以$MN = BM -$BN$= 6cm$.
所以线段 MN 的长为 6 cm.
(2)若 C 是线段 AB 上任意一点,且$AB = a$,$BC = b$,M,N 分别是 AB,BC 的中点,则线段 MN 的长为$\frac{1}{2}(a−b)$.(用含 a,b 的代数式表示)

答案： 3.
(1)AB　$\frac{1}{2}$　$\frac{1}{2}$　BN　
(2)$\frac{1}{2}$(a−b)