《2025年名校课堂七年级数学上册湘教版广西专版》

1. (2023·河池期末)我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题,其原文如下：今有三人共车,二车空,二人共车,九人步,问人与车各几何？其大意为：若3个人乘一辆车,则空2辆车；若2个人乘一辆车,则有9个人要步行,问人与车数各是多少？设有x个人,则可列方程是(C)
A.$3(x + 2) = 2x - 9$
B.$3(x + 2) = 2x + 9$
C.$\frac{x}{3}+2= \frac{x - 9}{2}$
D.$\frac{x}{3}-2= \frac{x - 9}{2}$

答案： 1.C 

2.（2024·南宁兴宁区期中）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问每只雀、燕的质量各为多少？”设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（    ）

A.
B.
C.
D.

答案： 1. 首先分析“五只雀、六只燕，共重$16$两”：
因为雀每只$x$两，燕每只$y$两，所以可得方程$5x + 6y=16$。
2. 然后分析“互换其中一只，恰好一样重”：
互换一只后，四只雀和一只燕的重量等于五只燕和一只雀的重量。
四只雀和一只燕的重量为$4x + y$，五只燕和一只雀的重量为$5y + x$，所以可得方程$4x + y=5y + x$。
综上，可列出方程组$\begin{cases}5x + 6y = 16\\4x + y=5y + x\end{cases}$，答案是B。

3.(2023·贵港港南区期末)程大位是我国明朝商人、珠算发明家. 他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，对书中某一问题改编如下：

意思是：有100个和尚分100个馒头，若大和尚1人分3个，小和尚3人分1个正好分完，则大和尚共分得______个馒头(     )

A.25
B.72
C.75
D.90

答案： C

4.元朝著名数学家朱世杰的名著《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒.”其中“店友经三处”意思为每次都是遇到店后再遇到朋友，总共3次，则酒壶里原来有______斗酒.

答案： 1. 设酒壶里原来有$x$斗酒：
第一次遇店添一倍，变为$2x$斗酒，第一次逢友饮一斗，此时酒有$(2x - 1)$斗；
第二次遇店添一倍，酒变为$2(2x - 1)$斗，第二次逢友饮一斗，此时酒有$2(2x - 1)-1$斗，根据乘法分配律展开$2(2x - 1)-1=4x-2 - 1=4x-(2 + 1)=4x-3$斗；
第三次遇店添一倍，酒变为$2(4x - 3)$斗，第三次逢友饮一斗，此时酒有$2(4x - 3)-1$斗，根据乘法分配律展开$2(4x - 3)-1=8x-6 - 1=8x-(6 + 1)=8x-7$斗。
2. 因为最后没了壶中酒，所以可列方程：
$8x-7 = 0$。
解方程：
移项，根据等式性质$1$：$a=b$，则$a + c=b + c$，$8x=7$。
系数化为$1$，根据等式性质$2$：$a=b(a\neq0)$，则$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}(c\neq0)$，$x=\frac{7}{8}$。
所以酒壶里原来有$\frac{7}{8}$斗酒。

5.阅读下列材料
《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿.其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡母一值钱三，鸡翁一值钱五，鸡雏三值钱一，凡百钱买鸡百

只，问鸡翁、母、雏各几何.”译文：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱.现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只?

结合你学过的知识，解决下列问题：

（1)设母鸡有ェ只，公鸡有y只，

①小鸡有______只，买小鸡一共花费______文钱;(用含x,y的式子表示)

②根据题意，列出一个含有ェ，y的方程：______

(2)若对“百鸡问题”增加一个条件：母鸡数量

是公鸡数量的4倍多2只，求此时公鸡、母

鸡、小鸡各有多少只；

（3)除了问题（2)中的解之外，请你再直接写出两组符合“百鸡问题”的解.

答案： 1. （1）
①
因为鸡的总数是$100$只，母鸡有$x$只，公鸡有$y$只，所以小鸡有$(100 - x - y)$只。
每三只小鸡值一文钱，所以买小鸡一共花费$\frac{1}{3}(100 - x - y)$文钱。
②
已知每一只母鸡值$3$文钱，每一只公鸡值$5$文钱，每三只小鸡值$1$文钱，一共用$100$文钱买鸡，可列方程$3x + 5y+\frac{1}{3}(100 - x - y)=100$。
2. （2）
已知母鸡数量是公鸡数量的$4$倍多$2$只，即$x = 4y+2$。
将$x = 4y + 2$代入$3x + 5y+\frac{1}{3}(100 - x - y)=100$中：
先把$x = 4y + 2$代入方程$3x + 5y+\frac{1}{3}(100 - x - y)=100$，得到$3(4y + 2)+5y+\frac{1}{3}[100-(4y + 2)-y]=100$。
展开式子：$12y+6 + 5y+\frac{1}{3}(100 - 4y - 2 - y)=100$，即$17y+6+\frac{1}{3}(98 - 5y)=100$。
方程两边同时乘以$3$去分母得：$3×(17y + 6)+98 - 5y=300$。
再展开：$51y+18 + 98 - 5y=300$。
合并同类项：$(51y-5y)+(18 + 98)=300$，即$46y+116 = 300$。
移项得：$46y=300 - 116$，$46y=184$。
解得$y = 4$。
把$y = 4$代入$x = 4y + 2$，得$x=4×4 + 2=18$。
则小鸡的数量为$100 - x - y=100-18 - 4 = 78$（只）。
所以公鸡有$4$只，母鸡有$18$只，小鸡有$78$只。
3. （3）
由$3x + 5y+\frac{1}{3}(100 - x - y)=100$，化简得$9x + 15y+100 - x - y = 300$，$8x+14y = 200$，$4x + 7y = 100$，$x=\frac{100 - 7y}{4}=25-\frac{7y}{4}$。
因为$x$，$y$为正整数，当$y = 8$时，$x=\frac{100-7×8}{4}=\frac{100 - 56}{4}=11$，小鸡数量为$100-11 - 8 = 81$（只）。
当$y = 12$时，$x=\frac{100-7×12}{4}=\frac{100 - 84}{4}=4$（舍去，与（2）重复），当$y = 0$时，$x = 25$，小鸡数量为$100-25-0 = 75$（只）。
综上，（1）①$(100 - x - y)$，$\frac{1}{3}(100 - x - y)$；②$3x + 5y+\frac{1}{3}(100 - x - y)=100$；（2）公鸡$4$只，母鸡$18$只，小鸡$78$只；（3）$\begin{cases}x = 11\\y = 8\end{cases}$，小鸡$81$只；$\begin{cases}x = 25\\y = 0\end{cases}$，小鸡$75$只。