《2025年名校课堂七年级数学上册湘教版广西专版》

11. 如图,$C是AB$的中点,$D是BC$的中点,下列等式不正确的是(C)

A.$CD= AD-BC$
B.$CD= AC-DB$
C.$CD= \frac{1}{3}AB$
D.$CD= \frac{1}{2}AB-DB$
【拓展提问】若$CD= 4$,则$AD$的长为____.

答案： C　[拓展提问]　12

12. 如图,已知线段$AB= 16\mathrm{cm}$,点$M在AB$上,$AM:BM= 1:3$,$P$,$Q分别为AM$,$AB$的中点,则$PQ$的长为6cm.

答案： 6cm

13. (2023·贵港桂平市期末)已知线段$AB= 6$,$C为线段AB$的中点,点$D在直线AB$上.若$BD= 3AC$,则$CD= $6或12.

答案： 1. 首先求$AC$的长度：
因为$C$为线段$AB$的中点，$AB = 6$，根据中点的定义$AC=\frac{1}{2}AB$，所以$AC=\frac{1}{2}×6 = 3$。
2. 然后求$BD$的长度：
已知$BD = 3AC$，把$AC = 3$代入可得$BD=3×3 = 9$。
3. 接着分情况讨论$D$点的位置：
情况一：当$D$点在线段$AB$的延长线上时：
$BC=\frac{1}{2}AB = 3$（因为$C$是$AB$中点）。
根据$CD=BC + BD$，把$BC = 3$，$BD = 9$代入可得$CD=3 + 9=12$。
情况二：当$D$点在线段$BA$的延长线上时：
$BC=\frac{1}{2}AB = 3$。
根据$CD=BD - BC$，把$BC = 3$，$BD = 9$代入可得$CD=9 - 3=6$。
故$CD$的值为$6$或$12$。

14. 新考向 真实情境 都江堰李冰石人的肩部和脚部通常被用来测量水位.如图,洪水水位$C与枯水水位D分别位于整尊石人AB$的六等分点处,$AC= BD$($AC＜CD$),已知$CD= 2.2\mathrm{m}$,则整尊石人的高度$AB= $3.3$\mathrm{m}$.

答案： 3.3

15. (2024·贵港期末)如图,已知$A$,$B$,$C$,$D$四点,请用尺规作图(只要求作出图形,不要求写作法).
(1)作直线$AB$,连接$AC并延长AC到点E$,使得$CE= AB+AC$；
(2)在线段$AC上取点P$,使$PB+PD$的值最小；
(3)在(2)的条件下,若$BD= 9$,$DP:BP= 2:1$,求$DP$的长.

答案： 1. （1）
按照要求作出直线$AB$，连接$AC$并延长$AC$到点$E$（图形略）。
2. （2）
作点$B$关于$AC$的对称点$B'$，连接$B'D$交$AC$于点$P$，点$P$即为所求（图形略）。
3. （3）
解：因为点$B$与点$B'$关于$AC$对称，所以$BP = B'P$。
则$PB + PD=B'P + PD$，根据两点之间线段最短，此时$B'$，$P$，$D$三点共线时$PB + PD$的值最小。
设$BP=x$，因为$DP:BP = 2:1$，所以$DP = 2x$。
又因为$BD=9$，且$BD=DP + BP$（这里$BP = B'P$，$B'$，$P$，$D$共线）。
所以$2x+x=9$，即$3x = 9$。
解得$x = 3$。
则$DP=2x=6$。
综上，（1）、（2）按要求作图（略）；（3）$DP$的长为$6$。

16. (2024·贵港平南县期末)如图1,$A$,$B$,$C$三点在同一条直线上,点$D在线段AC$的延长线上,且$AB= CD$,请仅用一把圆规在图中确定点$D$的位置.

【认识概念】
在同一直线上依次有$A$,$B$,$C$,$D$四点,且$AB= CD$,那么称$AB与CD$互为“对称线段”,即$AB为CD$的“对称线段”,$CD也为AB$的“对称线段”.
(1)如图2,下列情形中,$AB与CD$互为“对称线段”的是____(填序号)；
①$AB= 2$,$CD= 3$；②$AB= 1$,$BC= 3$,$BD= 5$；③$AC= 7$,$BD= 7$.
【运用概念】
如图3,$AB与CD$互为“对称线段”,$M为AC$的中点,$N为BD$的中点,且$AB= 2$.
(2)若$BC= 10$,求$BN$的长；
(3)在$BC$的长度变化的情况下,试说明$MN与AB$互为“对称线段”.

(1)③
(2)因为AB与CD互为“对称线段”，N为BD的中点，AB=2，所以CD=AB=2，BN=$\frac{1}{2}$BD。所以BD=CD+BC=2+10=12。所以BN=$\frac{1}{2}$×12=6。
(3)因为M为AC的中点，所以AM=CM=$\frac{1}{2}$AC。因为N为BD的中点，所以BN=DN=$\frac{1}{2}$BD。因为MN=BN−BM，BM=AM−AB，所以MN=BN−(AM−AB)=BN−AM+AB=$\frac{1}{2}$BD−$\frac{1}{2}$AC+AB。因为AB=CD，所以AB+BC=CD+BC，即AC=BD。所以MN=AB。所以MN与AB互为“对称线段”。

答案： 解:
(1)③
(2)因为AB与CD互为“对称线段”,N为BD的中点,AB =2,所以CD=AB=2,BN=$\frac{1}{2}$BD.所以BD=CD+BC=2+10=12.所以BN=$\frac{1}{2}$×12=6.
(3)因为M为AC的中点,所以AM=CM=$\frac{1}{2}$AC.因为N为BD的中点,所以BN=DN=$\frac{1}{2}$BD.因为MN=BN −BM,BM=AM−AB,所以MN=BN−(AM−AB)=BN−AM+AB=$\frac{1}{2}$BD−$\frac{1}{2}$AC+AB.因为AB=CD,所以AB+BC=CD+BC,即AC=BD.所以MN=AB.所以MN与AB互为“对称线段”.