《2025年名校课堂七年级数学上册湘教版广西专版》

7. 【原创】(教材P138习题T2变式)如图,每个圆圈中的字母下都隐藏着一个数,分别将相邻两个圆圈中的数字相加,并将所得结果写在两个圆圈之间相连的线段上,求字母A下隐藏的数.

答案： 解：设字母A下隐藏的数是x，字母B下隐藏的数是y，字母C下隐藏的数是z.根据题意，得$\left\{\begin{array}{l} x+y=35,\enclose{circle}{1}\\ y+z=40,\enclose{circle}{2}\\ x+z=31,\enclose{circle}{3}\end{array}\right.$①+②+③，得2(x+y+z)=106，即x+y+z=53.④ 把②代入④，得x+40=53，解得x=13.答：字母A下隐藏的数是13.

8. 由方程组$\begin{cases}2x + y = 3,\\2y + z = 4,\\2z + x = 5\end{cases} 可以得到x + y + z$的值等于(B)
A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$6$

答案： B

9. 为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文$\to$密文(加密)；接收方由密文$\to$明文(解密).已知加密规则为：明文$a$,$b$,$c对应密文a + 2b$,$2b + c$,$3c$.例如：明文$1$,$2$,$3对应密文5$,$7$,$9$.当接收方收到密文$14$,$9$,$15$时,解密得到的明文为(B)
A.$10$,$5$,$2$
B.$10$,$2$,$5$
C.$2$,$5$,$10$
D.$5$,$10$,$2$

答案： B

10. (教材P135做一做变式)已知一个三位数的个位、百位上的数字之和等于十位上的数字,个位上的数字是百位上数字的$2$倍,个位、十位、百位上的数字之和是$12$,求这个三位数.

答案： 解：设这个三位数百位上的数字为x，十位上的数字为y，个位上的数字为z.根据题意，得$\left\{\begin{array}{l} x+z=y,\enclose{circle}{1}\\ z=2x,\enclose{circle}{2}\\ x+y+z=12,\enclose{circle}{3}\end{array}\right.$把①代入③，得y=6.把y用6代入①，得x+z=6.④ 把②代入④，得3x=6，解得x=2.把x用2代入②，得z=4.答：这个三位数是264.

11. 王明在超市用$74$元钱买了苹果、梨、香蕉三种水果共$15.5\ kg$,苹果比梨多$2\ kg$,已知苹果$5元/kg$,梨$5.5元/kg$,香蕉$4元/kg$.王明买了苹果、梨、香蕉各多少千克？

答案： 解：设买了苹果x kg、梨y kg、香蕉z kg.根据题意，得$\left\{\begin{array}{l} x+y+z=15.5,\\ x-y=2,\\ 5x+5.5y+4z=74.\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} x=6,\\ y=4,\\ z=5.5.\end{array}\right.$答：王明买了苹果、梨、香蕉各6 kg，4 kg，5.5 kg.

12. 新考向 新定义问题 对于有理数$x$,$y$,定义新运算：$x*y = ax + by + c$,其中$a$,$b$,$c$都是常数,等式右边是通常的加法与乘法运算.已知$1*2 = 9$,$(-3)*3 = 6$,$0*1 = 2$.
(1)求$a$,$b$,$c$的值；
(2)求$(-1)*2$的值.

答案： $(1)$求$a$，$b$，$c$的值
解：
已知$x*y = ax + by + c$，且$1*2 = 9$，$( - 3)*3 = 6$，$0*1 = 2$，则可得到方程组：
$\begin{cases}a×1 + b×2 + c = 9\\a×(-3) + b×3 + c = 6\\a×0 + b×1 + c = 2\end{cases}$
即$\begin{cases}a + 2b + c = 9&(1)\\-3a + 3b + c = 6&(2)\\b + c = 2&(3)\end{cases}$
用$(1)$式减去$(2)$式消去$c$：
$\begin{aligned}(a + 2b + c)-(-3a + 3b + c)&=9 - 6\\a + 2b + c + 3a - 3b - c&=3\\4a - b&=3&(4)\end{aligned}$
由$(3)$式可得$c = 2 - b$，将$c = 2 - b$代入$(1)$式得：
$a + 2b + 2 - b = 9$，即a + b = 7&
(5)
$(4)$式加上$(5)$式消去$b$：
$\begin{aligned}(4a - b)+(a + b)&=3 + 7\\4a - b + a + b&=10\\5a&=10\\a&=2\end{aligned}$
把$a = 2$代入$(5)$式得：$2 + b = 7$，解得$b = 5$。
把$b = 5$代入$(3)$式得：$5 + c = 2$，解得$c = - 3$。
所以$a = 2$，$b = 5$，$c = - 3$。
$(2)$求$( - 1)*2$的值
由$(1)$知$a = 2$，$b = 5$，$c = - 3$，则$x*y = 2x + 5y - 3$。
所以$( - 1)*2 = 2×(-1) + 5×2 - 3$
$=-2 + 10 - 3$
$=5$
综上，答案为$(1)\boldsymbol{a = 2}$，$\boldsymbol{b = 5}$，$\boldsymbol{c = - 3}$；$(2)\boldsymbol{5}$。