《2025年夺冠课课练九年级数学上册苏科版》

1. 如图1,商家销售某些饮品时会给杯子在杯身上套上一个杯套,方便拿取。小欣同学深受启发,准备为家中如图2所示的两种玻璃杯也配上杯套。(说明：整个探究过程中均忽略杯套的连接部分和杯套的厚度)

(1)小欣家直身杯的杯口直径为7cm,她要制作高度为6cm的杯套,则此杯套的面积为______cm^2；(结果保留π)
(2)小欣发现阔口杯近似为圆台形状(即一个大圆锥截去一个小圆锥后余下的部分),如图3①,通过测量,杯子上口径AB= 9cm,下底面直径CD= 4cm,母线长AC、BD均为7.5cm。为了制作此杯套,小欣进行了以下探究：
①如图3②,小欣画出了阔口杯的侧面展开图示意图,发现它是圆环的一部分,且$\frac{\overset{\frown}{AA^\prime}的长}{\overset{\frown}{CC^\prime}的长}= \frac{AP}{CP}$,请证明这个结论,并求出$\overset{\frown}{AA^\prime}所对的圆心角\angle APA^\prime$的度数；
②现有一张矩形杯套材料,如图4②所示,DE= 7.5cm,EF= 12$\sqrt{3}$cm,为了充分利用材料,请在图4②的矩形中画出杯套侧面展开示意图(杯套示意图无拼接),并直接写出用该材料制作此阔口杯套的母线MN的最大长度。

答案： （1）42π （2）①120° ②3 cm