《2025年夺冠课课练九年级数学上册苏科版》

8.(2024黑龙江大兴安岭模拟)关于$x的一元二次方程(m - 2)x^{2}+4x + 2 = 0$有两个实数根,则$m$的取值范围是(D)
A.$m\leqslant4$
B.$m\geqslant4$
C.$m\geqslant-4且m\neq2$
D.$m\leqslant4且m\neq2$

答案： D

9. 对于任意4个实数$a$、$b$、$c$、$d$定义一种新的运算：$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} = ad - bc$.例如：$\begin{vmatrix}3&4\\5&6\end{vmatrix} = 3×6 - 4×5= -2$.则关于$x的方程\begin{vmatrix}k - x&-3\\2&x\end{vmatrix} = 0$的根的情况为(A)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定

答案： A

10. [教材改编]若关于$x的一元二次方程x^{2}-2x + a = 0$有实数根,则$a$的值可以是1.(填一个即可)

答案： 答案不唯一,满足a≤1即可

11. 已知$x$,$y满足2x^{2}-2xy + y^{2}= 1$,则$x + 2y$的最大值为$\sqrt{13}$.

答案： $\sqrt{13}$

12.(2025淮安金湖三县联考)已知关于$x的方程x^{2}+3mx + 2m^{2}-1 = 0$($m$为常数).
(1)求证：不论$m$为何值,方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根是$-2$,求$2025 - 2m^{2}+6m$的值.

答案： （1）证明略 （2）2028

13.(2024四川遂宁期中)我们规定：对于任意实数$a$、$b$、$c$、$d有[a,b]*[c,d]= ac - bd$,其中等式右边是通常的乘法和减法运算,如：$[3,2]*[5,1]= 3×5 - 2×1 = 13$.
(1)求$[-4,3]*[2,-6]$的值；
(2)已知关于$x的方程[x,2x - 1]*[mx + 1,m]= 0$有两个实数根,求$m$的取值范围.

答案： （1）10 （2）$m\leqslant \frac{1}{4}$且m≠0