《2025年夺冠课课练九年级数学上册苏科版》

1. (2024 常州期末)【阅读材料】
三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了借助几何图形对一元二次方程进行求解的方法. 以 $ x ^ { 2 } + 3 x - 10 = 0 $ 为例, 大致方法如下:


第一步: 将原方程变形为 $ x ^ { 2 } + 3 x = 10 $, 即 $ x ( x + 3 ) = 10 $;
第二步: 如图 1, 构造一个长为 $ x + 3 $, 宽为 $ x $ 的长方形, 且面积为 10;
第三步: 如图 2, 用四个这样的长方形围成一个大正方形, 中间空白部分恰好是一个小正方形. 则大正方形的边长为 $ 2 x + 3 $, 小正方形的边长为 3;
第四步: 观察图形可知: 大正方形的面积等于四个长方形与一个小正方形的面积之和, 得到 $ ( 2 x + 3 ) ^ { 2 } = 49 $. 虽然在几何图形中 $ x $ 的值不能取负数, 但事实上, 通过构图完成了关键的配方步骤, 只要开平方得 $ 2 x + 3 = \pm 7 $, 即可求得方程的两个根 $ x _ { 1 } = 2 $, $ x _ { 2 } = - 5 $.
【方法理解】
在图 3 的三个构图中, 能体现方程 $ x ^ { 2 } - x - 6 = 0 $ 的解法的是____(填序号), 观察图形可知 $ ( 2 x - 1 ) ^ { 2 } = $____;

【灵活应用】
仿照上述方法, 画出两种能够求出方程 $ 2 x ^ { 2 } + 5 x - 3 = 0 $ 的解的图示(标注必要数据).

答案：
1.(方法理解)③ 25 (灵活应用)
∵2x²+5x−3=0,
∴x(2x+5)=3,
∴2x(2x+5)=6或x(x+2.5)=1.5,
∴能够求出方程2x²+5x−3=0的解的图示如图所示:

2. (2024 广东东莞期末)综合与实践: 九年级课外小组计划用两块长为 100 cm, 宽为 40 cm 的长方形硬纸板做收纳盒.

【任务要求】
任务一: 设计无盖长方体收纳盒. 把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形, 然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒, 如图 1.
任务二: 设计有盖长方体收纳盒. 把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形, 然后折成一个有盖的长方体收纳盒, $ EF $ 和 $ HG $ 两边恰好重合且无重叠部分, 如图 2.
【问题解决】
(1) 若任务一中设计的收纳盒的底面积为 $ 1600 \mathrm { cm } ^ { 2 } $, 求剪去的小正方形的边长.
(2) 若任务二中设计的该收纳盒的底面积为 $ 608 \mathrm { cm } ^ { 2 } $.
①该收纳盒的高是多少厘米?
②请判断能否把一个尺寸如图 3 所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒, 并说明理由.

答案： 2.
(1)剪去的小正方形的边长为10cm;
(2)①收纳盒的高为12厘米;②不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒.