《2025年夺冠课课练九年级数学上册苏科版》

1. (2024苏州阶段测试)阅读材料:若$m^{2}-2mn+2n^{2}-8n+16= 0$,求m、n的值.
解:$\because m^{2}-2mn+2n^{2}-8n+16= 0$,
$\therefore (m^{2}-2mn+n^{2})+(n^{2}-8n+16)= 0,\therefore (m-n)^{2}+(n-4)^{2}= 0$,
$\therefore (m-n)^{2}= 0,(n-4)^{2}= 0,\therefore n= 4,m= 4$.
根据你的观察,探究下面的问题:
(1)已知$x^{2}+2xy+2y^{2}+4y+4= 0$,则$2x+y=$2;
(2)已知$m-n= 4,mn+k^{2}-6k+13= 0$,则$m+n+k=$3.

答案： （1）2 （2）3

2. 选取二次三项式$ax^{2}+bx+c(a≠0)$中的两项,配成完全平方式的过程叫配方.
例如:①选取二次项和一次项配方:$x^{2}-4x+9= (x-2)^{2}+5$;
②选取二次项和常数项配方:$x^{2}-4x+9= (x-3)^{2}+2x或x^{2}-4x+9= (x+3)^{2}-10x$;
③选取一次项和常数项配方:$x^{2}-4x+9= (\frac {2}{3}x-3)^{2}+\frac {5}{9}x^{2}$.
根据上述材料,解决下列问题:
(1)求代数式$x^{2}-6x+10$的最小值;
(2)写出代数式$x^{2}-8x+4$的两种不同形式的配方;
(3)已知$x^{2}+y^{2}+xy-3y+3= 0$,求$x^{y}$的值.

答案： （1）1. （2）$(x-4)^{2}-12$或$(x-2)^{2}-4x$(答案不唯一).（3）$x^{y}=1$.

3. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程,其实配方法还有其他重要应用.例如:已知x可取任何实数,试求二次三项式$x^{2}+2x+3$的最小值.
解:$x^{2}+2x+3= x^{2}+2x+1+2= (x+1)^{2}+2$.
$\because$无论x取何实数,都有$(x+1)^{2}≥0$,
$\therefore (x+1)^{2}+2≥2$,即$x^{2}+2x+3$的最小值为2.
(1)请直接写出$2x^{2}+4x+10$的最小值:8;
(2)求证:无论x取何实数,二次根式$\sqrt {x^{2}+x+2}$都有意义;证明略.
(3)如图,在四边形ABCD中,$AC⊥BD$,若$AC+BD= 10$,求四边形ABCD面积的最大值.
四边形ABCD面积的最大值为$\frac{25}{2}$.

答案： （1）8 （2）证明略.（3）四边形ABCD面积的最大值为$\frac{25}{2}$.